Números complexos
2 participantes
PiR2 :: Matemática :: Álgebra
Página 1 de 1
Números complexos
por Valéria Oliveira Ter Jul 02 2024, 10:44
Seja a = cis (8π/11). A parte real de [latex]a + a ^{2} + a^{3} + a^{4} + a^{5}[/latex]
gabarito: -1/2
gabarito: -1/2
Valéria Oliveira- Iniciante
- Mensagens : 33
Data de inscrição : 05/01/2022
Idade : 20
Localização : São José dos Campos, SP
Re: Números complexos
por DaoSeek Ter Jul 02 2024, 13:19
Seja \(z = a + a^2 + a^3 + a^4 + a^5\)
Sabemos que \( a^{11} = 1, a \neq 1\) e isso implica que \(1+a+a^2+\cdots +a^{10} = 0\). Logo temos:
\(1 + a + a^2 + a^3 + a^4 + a^5 + a^5(a+a^2+a^3 + a^4+a^5) = 0\)
\(1 + z + a^5 z = 0 \implies z = -\dfrac{1}{1+a^5}\)
Tomando o conjugado:
\( \overline z = -\dfrac{1}{1+\overline {a^5}} = -\dfrac {1}{1+a^6}\)
Portanto:
\( \textrm{Re}(z) = \dfrac{z + \overline z}2 = \dfrac 12 \left( -\dfrac{1}{1+a^5} - \dfrac 1{1+a^6}\right) =-\dfrac 12 \left( \dfrac{1+a^6 + 1+a^5}{1+a^5 + a^6 + a^{11}}\right) = -\dfrac 12\)
Sabemos que \( a^{11} = 1, a \neq 1\) e isso implica que \(1+a+a^2+\cdots +a^{10} = 0\). Logo temos:
\(1 + a + a^2 + a^3 + a^4 + a^5 + a^5(a+a^2+a^3 + a^4+a^5) = 0\)
\(1 + z + a^5 z = 0 \implies z = -\dfrac{1}{1+a^5}\)
Tomando o conjugado:
\( \overline z = -\dfrac{1}{1+\overline {a^5}} = -\dfrac {1}{1+a^6}\)
Portanto:
\( \textrm{Re}(z) = \dfrac{z + \overline z}2 = \dfrac 12 \left( -\dfrac{1}{1+a^5} - \dfrac 1{1+a^6}\right) =-\dfrac 12 \left( \dfrac{1+a^6 + 1+a^5}{1+a^5 + a^6 + a^{11}}\right) = -\dfrac 12\)
DaoSeek- Jedi
- Mensagens : 257
Data de inscrição : 29/07/2022
Tópicos semelhantesPiR2 :: Matemática :: Álgebra
Página 1 de 1
Permissões neste sub-fórum
Não podes responder a tópicos|
|
|
