Interseção de elipses

por Júliawww_520 Dom 30 Jun 2024, 09:12

(EN-1983) Considere num sistema de coordenadas cartesianas ortogonais, as elipses de equações

Sendo a>b, a alternativa que completa a sentença "Os pontos comuns as curvas dadas...." é:
a) Determinam apenas as retas y = x e y = -x."
b) estão sobre a reta y =x."
c) estão sobre a circunferência x² + y² = 2a²b²."
d) Determinam um quadrado de lados não paralelos aos eixos coordenados."
e) têm coordenadas verificando a equação y² - x² = 0." (Gabarito!)
as alternativas a, b e d eu entendi o motivo de estarem erradas. As outras duas não entendi.

por Lipo_f Dom 30 Jun 2024, 14:38

Temos:

x²b² + y²a² = a²b²
x²a² + y²b² = a²b²

=> x²(b²-a²) + y²(a²-b²) = 0. Como b < a, posso dividir ambos por b² - a² => x² - y² = 0 => (x-y)(x+y) = 0

a) Os pontos podem determinar y = x e y = -x, mas não necessariamente. Por exemplo, podem ser (+-a,+-a), então posso também determinar as retas r: y = a, x: y = -a

b) nem todos

c) basta que tomemos uma das retas, que o resto é simétrico. x = y -> x²(a²+b²) = a²b² -> x = ab/√a²+b² = y (tomando a solução positiva). Então, na verdade, estão sobre a circunferência x² + y² = 2a²b²/(a²+b²) (o 2 vem da distância do ponto (x,y) à origem, que é x√2 já que x = y).

d) os lados estão sobre as retas y = a, y = -a, x = -a, x = a, paralelas aos eixos.

e) Como provamos, x² - y² = 0, que já leva direto à resposta.

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