Questão avançada de vínculo geométrico

No sistema a seguir, m > m’ e todos os atritos podem ser desprezados. Qual o módulo da aceleração do bloco M, dado que a aceleração da gravidade vale g?



[latex]A) \frac{2(m-m')g}{M+3(m+m')} B) \frac{(m-m')g}{2M+3(m+m')} C) \frac{(m+m')g}{3M+2(m-m')} D) \frac{(m+m')g}{3M+2(m+m')} E) 0[/latex]

Resposta:

Bom dia. Considerando que o bloco M irá se deslocar para a direita, vamos mudar do referencial da Terra para o referencial deste bloco. Considerando que sua aceleração seja a, então surgirá uma aceleração de módulo a para a esquerda.
Analisando os blocos de massa m:
O bloco m que está na parte inferior deve ter uma força normal N agindo para a direita, pois ele fica em equilibrio junto com o bloco M.
[latex] N = ma [/latex]
Agora, encontrando a aceleração a' deste sistema de 2 blocos:
[latex] \left\{\begin{matrix} T + ma=ma' \\  P - T = ma'\end{matrix}\right.\rightarrow a'=\frac{g +a}{2} \therefore T =\frac{m(g-a)}{2} [/latex]
Fazendo o mesmo para os blocos de massa m':
[latex] N' = m'a [/latex]
[latex] \left\{\begin{matrix} T' - m'a=m'a'' \\  P - T = m'a''\end{matrix}\right.\rightarrow a''=\frac{g -a}{2} \therefore T' =\frac{m'(g+a)}{2} [/latex]
Como estamos no referencial do bloco M, sabemos que ele está parado em seu próprio referencial, então a força resultante no eixo x sobre ele deve ser 0:
[latex] \sum F_x=0\rightarrow T - N - N' -T' - Ma=0\rightarrow  \\
\frac{m(g-a)}{2} - ma - m'a - \frac{m'(g+a)}{2} -Ma=0 \\
mg - ma - 2ma - 2m'a - m'g -m'a - 2Ma=0 \\
a(3m + 3m' + 2M)=g(m - m') \therefore a = \frac{g(m-m')}{2M + 3(m + m')} [/latex]