Fatoração (avançada)

por Nat' Ter 03 Jul 2012, 00:19

Por favor, alguém sabe como fazer essa?

Prove que (a+b)(a+c)(b+c) = 0 se 1/a +1/b + 1/c = 1/(a + b +c) confused

Obrigada! :bom:

por **Robson Jr.** Ter 03 Jul 2012, 01:29

$\small \\ I. \ \ (a+b)(b+c)(a+c)=0\Leftrightarrow a^2b+b^2a+a^2c+c^2a+b^2c+c^2b+2abc=0 \\ \\ II. \ \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{a+b+c}\Leftrightarrow \frac{bc+ac+ab}{abc}=\frac{1}{a+b+c}\\\\ \Leftrightarrow a^2b+b^2a+a^2c+c^2a+b^2c+c^2b+3abc=abc$

I e II são exatamente a mesma expressão. Se II = 0, I = 0.

CqD

por Nat' Ter 03 Jul 2012, 07:00

Obrigada!

por **Robson Jr.** Dom 20 Jan 2013, 08:02

Uma abordagem um pouco mais direta:

$\small (a+b)(a+c)(b+c)=0 \Rightarrow a=-b \text{ ou }a=-c \text{ ou }b=-c$

Usando, por exemplo, a = -b:

$\small \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{a+b+c} \Leftrightarrow \frac{1}{a}-\frac{1}{a}+\frac{1}{c}=\frac{1}{a-a+c} \Leftrightarrow \frac{1}{c}=\frac{1}{c} \ _{\blacksquare}$

Nenhuma das soluções é demorada, mas por esta última o problema sai mentalmente.

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