Demonstraçaão tetraedro

Chamemos alturas de um tetraedro às perpendiculares baixadas dos vértices sobre os planos das faces opostas. Prove que se duas alturas de um tetraedro se encontram, as outras duas alturas também se encontram.

Digamos que  A,B,C,D são os vértices do tetraedro e AA', BB', CC', DD' são suas alturas. O ponto é que essas retas  se projetam perpendicularmente aos lados dos triangulos das faces.

Mais precisamente:
Seja H sobre o lado BC de forma que a reta AH é a projeção de  AA' sobre o plano da face ABC. Então AH é a altura do triangulo ABC.

Sabendo disso fica fácil: Digamos AA'  e BB' se encontram em algum ponto. Pela observação acima, isso significa que a projeção de AB  sobre o plano ACD está contida na altura do triangulo ACD. Isto é, as retas AB e CD são ortogonais.

Logo, a projeção de CD sobre a face CAB se encontra na altura do triangulo CAB. Portanto CC' e DD' também possuem interseção não vazia.

DaoSeek escreveu:Digamos que  A,B,C,D são os vértices do tetraedro e AA', BB', CC', DD' são suas alturas. O ponto é que essas retas  se projetam perpendicularmente aos lados dos triangulos das faces.

Mais precisamente:
Seja H sobre o lado BC de forma que a reta AH é a projeção de  AA' sobre o plano da face ABC. Então AH é a altura do triangulo ABC.

Sabendo disso fica fácil: Digamos AA'  e BB' se encontram em algum ponto. Pela observação acima, isso significa que a projeção de AB  sobre o plano ACD está contida na altura do triangulo ACD. Isto é, as retas AB e CD são ortogonais.

Logo, a projeção de CD sobre a face CAB se encontra na altura do triangulo CAB. Portanto CC' e DD' também possuem interseção não vazia.

Grato