Logaritmos
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Logaritmos
por pedro_bello Seg 15 Nov 2021, 09:33
[latex]\begin{cases}\log_9{(x^2+2)}+\log_{81}{(y^2+9)}=2\\2\cdot\log_4{(x+y)-\log_2(x-y)=0} \end{cases}[/latex]
gabarito: {(5,0)}
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Re: Logaritmos
por tales amaral Seg 15 Nov 2021, 10:43
Elaborando a equação (2):
[latex]2\cdot \log_4 (x+y)-\log_2 (x-y) = 0 [/latex]
[latex]2\cdot \log_{2^2} (x+y)-\log_2 (x-y) = 0 [/latex]
[latex]2\cdot \dfrac{\log_{2} (x+y)}{2}-\log_2 (x-y) = 0 [/latex]
[latex]\log_{2} (x+y)-\log_2 (x-y) = 0 [/latex]
[latex]\log_{2} (x+y) = \log_2 (x-y)[/latex]
[latex] x+y = x-y[/latex]
[latex] 2y = 0[/latex]
[latex] y = 0[/latex]
Elaborando a equação (1):
[latex]\log_9 (x^2+2)+\log_{81}(y^2+9) = 2[/latex]
[latex]\log_9 (x^2+2)+\log_{9^2}(y^2+9) = 2[/latex]
[latex]\log_9 (x^2+2)+\dfrac{\log_{9}(y^2+9)}{2} = 2[/latex]
[latex]\log_9 (x^2+2)^2+\log_{9}(y^2+9)= 4[/latex]
[latex](x^2+2)^2\cdot(y^2+9)= 9^4[/latex]
Substituindo:
[latex](x^2+2)^2\cdot(0+9)= 9^4[/latex]
[latex](x^2+2)^2= 9^3[/latex]
[latex](x^2+2)^2= \left(3^2\right)^3[/latex]
[latex]x^2+2= 27[/latex]
[latex]x^2= 25[/latex]
[latex]x = \pm 5[/latex]
x não pode ser negativo, pois (x+y) seria menor que zero, logo x = 5.
[latex]2\cdot \log_4 (x+y)-\log_2 (x-y) = 0 [/latex]
[latex]2\cdot \log_{2^2} (x+y)-\log_2 (x-y) = 0 [/latex]
[latex]2\cdot \dfrac{\log_{2} (x+y)}{2}-\log_2 (x-y) = 0 [/latex]
[latex]\log_{2} (x+y)-\log_2 (x-y) = 0 [/latex]
[latex]\log_{2} (x+y) = \log_2 (x-y)[/latex]
[latex] x+y = x-y[/latex]
[latex] 2y = 0[/latex]
[latex] y = 0[/latex]
Elaborando a equação (1):
[latex]\log_9 (x^2+2)+\log_{81}(y^2+9) = 2[/latex]
[latex]\log_9 (x^2+2)+\log_{9^2}(y^2+9) = 2[/latex]
[latex]\log_9 (x^2+2)+\dfrac{\log_{9}(y^2+9)}{2} = 2[/latex]
[latex]\log_9 (x^2+2)^2+\log_{9}(y^2+9)= 4[/latex]
[latex](x^2+2)^2\cdot(y^2+9)= 9^4[/latex]
Substituindo:
[latex](x^2+2)^2\cdot(0+9)= 9^4[/latex]
[latex](x^2+2)^2= 9^3[/latex]
[latex](x^2+2)^2= \left(3^2\right)^3[/latex]
[latex]x^2+2= 27[/latex]
[latex]x^2= 25[/latex]
[latex]x = \pm 5[/latex]
x não pode ser negativo, pois (x+y) seria menor que zero, logo x = 5.
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