[Probabilidade] Fuvest 2021, Segunda Fase, Combinatória

Um parque industrial com 24 indústrias foi estruturado de forma que seu sistema de esgoto tivesse a estrutura mostrada na figura. Um serviço de inspeção no ponto O detectou uma substância proibida que pode ter vindo de qualquer uma das indústrias, com igual probabilidade. Para autuar as indústrias irregulares, o serviço se decidiu pela seguinte estratégia: usar 6 kits de teste em amostras coletadas nos pontos A, B, C, D, E e F , no primeiro dia e, no segundo dia, fazer o mesmo nas saídas de todas as indústrias dos grupos apontados como contaminados no primeiro dia. Um dos cenários examinados pelo serviço de inspeção foi o de haver exatamente quatro indústrias irregulares.

a) Quantas são as formas possíveis de exatamente quatro indústrias irregulares estarem distribuídas entre as 24 indústrias do parque?
b) Qual é a probabilidade, havendo exatamente quatro indústrias irregulares, de que o gasto total de kits de testes nos dois dias seja 22?
c) Qual é a probabilidade, havendo exatamente quatro indústrias irregulares, de que o gasto total de kits de testes usados nos dois dias seja 14 ou menos? 


Minha dúvida é com relação à letra B, queria entender porque esse raciocínio dá errado: 


Para no segundo dia exatamente 16 kits de testes serem usados, temos que no primeiro dia ter identificado 4 indústrias irregulares em grupos diferentes (A, B, C, D, E, F). Sabendo disso, fiz a combinação de todas formas que 4 grupos poderiam ser apontados como irregulares, que seriam os casos favoráveis, e dividi pelo espaço amostral, que pra mim, seriam todas as formas de que essas 4 industrias poderiam estar dispostas em grupos (todas no A; ou 3 no A e 1 no B; ou 1 no A, 1 no B, e 2 no C; ou uma no A, no B, no C e no D)



Resposta esperada (b):

Vamos revisar a questão da letra (b) e entender por que o raciocínio original está incorreto.

Para resolver a questão, precisamos calcular a probabilidade de que, havendo exatamente quatro indústrias irregulares, o gasto total de kits de testes nos dois dias seja 22.

Entendimento do Problema:

1. Cenário:
   - Existem 24 indústrias distribuídas em 6 grupos (A, B, C, D, E, F).
   - Cada grupo tem 4 indústrias.
   - Há exatamente 4 indústrias irregulares.

2. Estratégia de Inspeção:
   - No primeiro dia, são usados 6 kits de teste em cada ponto (A, B, C, D, E, F).
   - No segundo dia, são testadas todas as indústrias dos grupos que foram apontados como contaminados no primeiro dia.

3. Problema:
   - Calcular a probabilidade de que, havendo exatamente 4 indústrias irregulares, o gasto total de kits nos dois dias seja 22.

Raciocínio Correto:

Para que o gasto total de kits de teste nos dois dias seja 22, é necessário que:

- No primeiro dia, 6 kits são usados para testar cada grupo (A, B, C, D, E, F).
- No segundo dia, os grupos detectados como contaminados no primeiro dia são testados completamente. 

Para gastar 22 kits no total:
- Primeiro dia: 6 kits.
- Segundo dia: 16 kits (4 grupos detectados como contaminados).

Análise do Raciocínio Original:

O raciocínio utilizado na resposta original é:

\[
\frac{\binom{6}{4}}{\binom{6}{1} + \binom{6}{2} + \binom{6}{3} + \binom{6}{4}} = \frac{15}{56}
\]

Problemas com o Raciocínio Original:

1. Erro na Contagem de Casos Favoráveis:
   - A combinação \(\binom{6}{4}\) conta o número de formas de escolher 4 grupos de 6, o que está correto.
   - No entanto, o denominador deve representar o número total de formas de distribuir 4 indústrias irregulares em qualquer grupo, não apenas o número de formas de escolher 1, 2, 3 ou 4 grupos de 6.

2. Espaço Amostral Incorreto:
   - O denominador deve considerar todas as combinações possíveis de distribuir 4 indústrias irregulares entre os 24 pontos, que é \(\binom{24}{4}\).
   - O correto seria calcular a probabilidade considerando todas as possíveis combinações de distribuição das 4 indústrias irregulares nos grupos, e não apenas uma soma de combinações limitadas.

Correção do Cálculo da Probabilidade:

1. Determinar todas as formas possíveis de distribuir 4 indústrias irregulares entre 24 indústrias:
\[
\binom{24}{4}
\]

2. Determinar os casos favoráveis onde exatamente 4 grupos são detectados como contaminados.
   - Cada grupo tem 4 indústrias, então a presença de uma indústria irregular em um grupo é suficiente para detectar o grupo como contaminado.
   - Portanto, os casos favoráveis são aqueles em que exatamente 4 grupos de 6 são selecionados:
\[
\binom{6}{4}
\]

A probabilidade correta de que, havendo exatamente 4 indústrias irregulares, o gasto total de kits nos dois dias seja 22 é dada por:
\[
P(\text{gasto total de 22 kits}) = \frac{\binom{6}{4}}{\binom{24}{4}}
\]

Portanto:
\[
P(\text{gasto total de 22 kits}) = \frac{15}{10626}
\]
Concluímos que o raciocínio original está incorreto porque não considerou corretamente o espaço amostral total das combinações possíveis de distribuição das indústrias irregulares.

al171 escreveu:Vamos revisar a questão da letra (b) e entender por que o raciocínio original está incorreto.

Para resolver a questão, precisamos calcular a probabilidade de que, havendo exatamente quatro indústrias irregulares, o gasto total de kits de testes nos dois dias seja 22.

Entendimento do Problema:

1. Cenário:
   - Existem 24 indústrias distribuídas em 6 grupos (A, B, C, D, E, F).
   - Cada grupo tem 4 indústrias.
   - Há exatamente 4 indústrias irregulares.

2. Estratégia de Inspeção:
   - No primeiro dia, são usados 6 kits de teste em cada ponto (A, B, C, D, E, F).
   - No segundo dia, são testadas todas as indústrias dos grupos que foram apontados como contaminados no primeiro dia.

3. Problema:
   - Calcular a probabilidade de que, havendo exatamente 4 indústrias irregulares, o gasto total de kits nos dois dias seja 22.

Raciocínio Correto:

Para que o gasto total de kits de teste nos dois dias seja 22, é necessário que:

- No primeiro dia, 6 kits são usados para testar cada grupo (A, B, C, D, E, F).
- No segundo dia, os grupos detectados como contaminados no primeiro dia são testados completamente. 

Para gastar 22 kits no total:
- Primeiro dia: 6 kits.
- Segundo dia: 16 kits (4 grupos detectados como contaminados).

Análise do Raciocínio Original:

O raciocínio utilizado na resposta original é:

\[
\frac{\binom{6}{4}}{\binom{6}{1} + \binom{6}{2} + \binom{6}{3} + \binom{6}{4}} = \frac{15}{56}
\]

Problemas com o Raciocínio Original:

1. Erro na Contagem de Casos Favoráveis:
   - A combinação \(\binom{6}{4}\) conta o número de formas de escolher 4 grupos de 6, o que está correto.
   - No entanto, o denominador deve representar o número total de formas de distribuir 4 indústrias irregulares em qualquer grupo, não apenas o número de formas de escolher 1, 2, 3 ou 4 grupos de 6.

2. Espaço Amostral Incorreto:
   - O denominador deve considerar todas as combinações possíveis de distribuir 4 indústrias irregulares entre os 24 pontos, que é \(\binom{24}{4}\).
   - O correto seria calcular a probabilidade considerando todas as possíveis combinações de distribuição das 4 indústrias irregulares nos grupos, e não apenas uma soma de combinações limitadas.

Correção do Cálculo da Probabilidade:

1. Determinar todas as formas possíveis de distribuir 4 indústrias irregulares entre 24 indústrias:
\[
\binom{24}{4}
\]

2. Determinar os casos favoráveis onde exatamente 4 grupos são detectados como contaminados.
   - Cada grupo tem 4 indústrias, então a presença de uma indústria irregular em um grupo é suficiente para detectar o grupo como contaminado.
   - Portanto, os casos favoráveis são aqueles em que exatamente 4 grupos de 6 são selecionados:
\[
\binom{6}{4}
\]

A probabilidade correta de que, havendo exatamente 4 indústrias irregulares, o gasto total de kits nos dois dias seja 22 é dada por:
\[
P(\text{gasto total de 22 kits}) = \frac{\binom{6}{4}}{\binom{24}{4}}
\]

Portanto:
\[
P(\text{gasto total de 22 kits}) = \frac{15}{10626}
\]
Concluímos que o raciocínio original está incorreto porque não considerou corretamente o espaço amostral total das combinações possíveis de distribuição das indústrias irregulares.

al171, creio que também seja necessário contabilizar as formas de cada indústria estar distribuida em seu respectivo grupo. Para cada uma, temos 4 formas de selecionar uma empresa de certo grupo. Assim, o número de casos do evento seria 15.4.4.4.4 = 3840