Polígonos Regulares.

15) Um trapézio está inscrito em um semicírculo de raio 6cm. Determine a altura do trapézio cujas bases são o lado do quadrado e o triângulo equilátero inscritos.

Gabarito: 3(\/2 - 1)cm.

Att. Ramon Pereira

tente concluir , se não conseguir diga.

O enunciado tem erro: o trapézio NÃO está inscrito num semicírculo, ele apenas está dentro de um semicírculo. Na verdade o trapézio está inscrito num arco de círculo.

Não estou conseguindo visualizar a questão, quem puder ajudar agradeço desde já!

Ninguém conseguiu entender: está inscrito num semi-círculo e é impossível!

Caso esteja inscrito em um círculo:

Como o lado do triângulo equilátero é menor do que o diâmetro da circunferência, e o lado do quadrado é menor ainda, e como estamos falando de um semicírculo, então o lado do triângulo (base maior do trapézio) está acima do diâmetro e o trapézio fica espremido dentro desse semicírculo.

R = 6 -----> diâmetro = 12
lado do triângulo eq  -----> a = R.√3 ----> a = 6√3
lado do quadrado --------> b = R.√2 ----> b = 6√2

O centro do círculo é também o baricentro do triângulo equilátero, onde a altura é também a mediana.

h = a.√3/2 -----> h = 9
Portanto a distância entre o centro do semicírculo, ou o seu diâmetro, e a base do trapézio (a) é h/3, ou seja, a base maior do trapézio (lado do triângulo equilátero) está 3 cm acima do diâmetro.

A distância entre o lado do quadrado (b), base menor do trapézio, pode ser obtida por Pitágoras mas acho mais fácil fazer:
d = R.cos45° -----> d = 3√2

A altura (H) no trapézio é a diferença entre essas duas distâncias, i.e., entre as bases e o diâmetro do semicírculo.
H = 3√2 - 3 -----> H = 3.(√2 - 1)

Note que quanto menor a base, por estar limitada pelo semicírculo, mais ela se afasta do diâmetro; portanto o lado do quadrado (base b) fica acima do lado do triângulo (base a).

Eis a figura para a solução do colega Medeiros:

Obrigado Élcio. Ficou um desenho bem didático.

Medeiros escreveu:Como o lado do triângulo equilátero é menor do que o diâmetro da circunferência, e o lado do quadrado é menor ainda, e como estamos falando de um semicírculo, então o lado do triângulo (base maior do trapézio) está acima do diâmetro e o trapézio fica espremido dentro desse semicírculo.

R = 6 -----> diâmetro = 12
lado do triângulo eq  -----> a = R.√3 ----> a = 6√3
lado do quadrado --------> b = R.√2 ----> b = 6√2

O centro do círculo é também o baricentro do triângulo equilátero, onde a altura é também a mediana.

h = a.√3/2 -----> h = 9
Portanto a distância entre o centro do semicírculo, ou o seu diâmetro, e a base do trapézio (a) é h/3, ou seja, a base maior do trapézio (lado do triângulo equilátero) está 3 cm acima do diâmetro.

A distância entre o lado do quadrado (b), base menor do trapézio, pode ser obtida por Pitágoras mas acho mais fácil fazer:
d = R.cos45° -----> d = 3√2

A altura (H) no trapézio é a diferença entre essas duas distâncias, i.e., entre as bases e o diâmetro do semicírculo.
H = 3√2 - 3 -----> H = 3.(√2 - 1)

Note que quanto menor a base, por estar limitada pelo semicírculo, mais ela se afasta do diâmetro; portanto o lado do quadrado (base b) fica acima do lado do triângulo (base a).

Não entendi o porquê do ângulo ser 45.