Derivada de ordem 2
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Derivada de ordem 2
por Astrogildo Calisbento Seg 22 Set 2014, 19:35
Considere f : R² −-> R onde x = cos(t); y = cos(t)sen(t). Dê a
expressão de d²f/dt² ( a derivada de ordem 2 de f em relacão a variável t).
expressão de d²f/dt² ( a derivada de ordem 2 de f em relacão a variável t).
Astrogildo Calisbento- Iniciante
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Re: Derivada de ordem 2
por MCarsten Dom 28 Set 2014, 23:47
Como x = cost, então f = xsent ou y = cost.sent.
Regra do produto
df/dt = cos(t).cos(t) + sen(t).(-sen(t))
df/dt = cos^2(t) - sen^2(t)
cos^2(t) e sen^2(t) são funções compostos, então aplicando a regra da cadeia:
df^2/dt^2 = -2.cos(t).sen(t) - (2.sen(t).cos(t))
df^2/dt^2 = -2.cos(t).sen(t) - 2.sen(t).cos(t)
df^2/dt^2 = -4cos(t)sen(t)
Regra do produto
df/dt = cos(t).cos(t) + sen(t).(-sen(t))
df/dt = cos^2(t) - sen^2(t)
cos^2(t) e sen^2(t) são funções compostos, então aplicando a regra da cadeia:
df^2/dt^2 = -2.cos(t).sen(t) - (2.sen(t).cos(t))
df^2/dt^2 = -2.cos(t).sen(t) - 2.sen(t).cos(t)
df^2/dt^2 = -4cos(t)sen(t)
MCarsten- Recebeu o sabre de luz
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Re: Derivada de ordem 2
por Man Utd Dom 09 Nov 2014, 12:58
Olá 
Na verdade "y" não é função de x, o exercício pede na realidade para usar a regra da cadeia de várias variáveis :
\frac{\partial&space;f}{\partial&space;x}&space;+\cos&space;(2t)\frac{\partial&space;f}{\partial&space;y} "\\\\\\ \frac{df}{dt}=\frac{\partial f}{\partial x} \frac{dx}{d t}+\frac{\partial f}{\partial y} \frac{dy}{d t} \\\\\\ \frac{df}{dt}=-\sin(t)\frac{\partial f}{\partial x} +\cos (2t)\frac{\partial f}{\partial y}")
=\frac{df}{dt}&space;\left(-\sin(t)\frac{\partial&space;f}{\partial&space;x}&space;+\cos&space;(2t)\frac{\partial&space;f}{\partial&space;y}&space;\right)&space;\\\\\\&space;\frac{d^{2}f}{dt^{2}}&space;=\frac{df}{dt}&space;\left(-\sin(t)\frac{\partial&space;f}{\partial&space;x}&space;\right)&space;+\frac{df}{dt}&space;\left(&space;\cos&space;(2t)\frac{\partial&space;f}{\partial&space;y}&space;\right)&space;\\\\\\&space;\frac{d^{2}f}{dt^{2}}&space;=&space;-\cos(t)\frac{\partial&space;f}{\partial&space;x}&space;-\sin(t)\frac{df}{dt}\frac{\partial&space;f}{\partial&space;x}&space;-2\sin&space;(2t)\frac{\partial&space;f}{\partial&space;y}&space;+\cos(2t)\frac{df}{dt}&space;\frac{\partial&space;f}{\partial&space;y} "\\\\\\ \frac{df}{dt} \left( \frac{df}{dt} \right)=\frac{df}{dt} \left(-\sin(t)\frac{\partial f}{\partial x} +\cos (2t)\frac{\partial f}{\partial y} \right) \\\\\\ \frac{d^{2}f}{dt^{2}} =\frac{df}{dt} \left(-\sin(t)\frac{\partial f}{\partial x} \right) +\frac{df}{dt} \left( \cos (2t)\frac{\partial f}{\partial y} \right) \\\\\\ \frac{d^{2}f}{dt^{2}} = -\cos(t)\frac{\partial f}{\partial x} -\sin(t)\frac{df}{dt}\frac{\partial f}{\partial x} -2\sin (2t)\frac{\partial f}{\partial y} +\cos(2t)\frac{df}{dt} \frac{\partial f}{\partial y}")
mas sabemos que :\frac{\partial&space;f}{\partial&space;x}&space;+\cos&space;(2t)\frac{\partial&space;f}{\partial&space;y} "\\\\\\ \frac{df}{dt}=-\sin(t)\frac{\partial f}{\partial x} +\cos (2t)\frac{\partial f}{\partial y}")
logo :
\frac{\partial&space;f}{\partial&space;x}&space;-\sin(t)\left(-\sin(t)\frac{\partial&space;f}{\partial&space;x}&space;+\cos&space;(2t)\frac{\partial&space;f}{\partial&space;y}&space;\right&space;)\frac{\partial&space;f}{\partial&space;x}&space;-2\sin&space;(2t)\frac{\partial&space;f}{\partial&space;y}&space;+\cos(2t)\left(-\sin(t)\frac{\partial&space;f}{\partial&space;x}&space;+\cos&space;(2t)\frac{\partial&space;f}{\partial&space;y}&space;\right&space;)&space;\frac{\partial&space;f}{\partial&space;y}&space;\\\\\\\\&space;\frac{d^{2}f}{dt^{2}}&space;=&space;-\cos(t)\frac{\partial&space;f}{\partial&space;x}&space;+\sin^{2}(t)\frac{\partial^{2}&space;f}{\partial&space;x^{2}}&space;-&space;\sin&space;(t)\cos&space;(2t)\frac{\partial^{2}&space;f}{\partial&space;y&space;\partial&space;x}&space;-2\sin&space;(2t)\frac{\partial&space;f}{\partial&space;y}&space;-cos(2t)\sin(t)\frac{\partial^{2}&space;f}{\partial&space;x&space;\partial&space;y}&space;+\cos^{2}&space;(2t)\frac{\partial^{2}&space;f}{\partial&space;y^{2}} "\\\\\\\\ \frac{d^{2}f}{dt^{2}} = -\cos(t)\frac{\partial f}{\partial x} -\sin(t)\left(-\sin(t)\frac{\partial f}{\partial x} +\cos (2t)\frac{\partial f}{\partial y} \right )\frac{\partial f}{\partial x} -2\sin (2t)\frac{\partial f}{\partial y} +\cos(2t)\left(-\sin(t)\frac{\partial f}{\partial x} +\cos (2t)\frac{\partial f}{\partial y} \right ) \frac{\partial f}{\partial y} \\\\\\\\ \frac{d^{2}f}{dt^{2}} = -\cos(t)\frac{\partial f}{\partial x} +\sin^{2}(t)\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} - \sin (t)\cos (2t)\frac{\partial^{2} f}{\partial y \partial x} -2\sin (2t)\frac{\partial f}{\partial y} -cos(2t)\sin(t)\frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y} +\cos^{2} (2t)\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}")
\frac{\partial^{2}&space;f}{\partial&space;y^{2}}&space;+&space;\sin^{2}(t)\frac{\partial^{2}&space;f}{\partial&space;x^{2}}&space;-\cos(t)\frac{\partial&space;f}{\partial&space;x}-2\sin&space;(2t)\frac{\partial&space;f}{\partial&space;y}&space;-&space;\frac{\partial^{2}&space;f}{\partial&space;x&space;\partial&space;y}&space;\left(&space;\sin&space;(t)\cos&space;(2t)&space;+cos(2t)\sin(t)&space;\right)&space;}}} "\\\\\\\\ \boxed{ \boxed{ \boxed{\frac{d^{2}f}{dt^{2}} =\cos^{2} (2t)\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}} + \sin^{2}(t)\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} -\cos(t)\frac{\partial f}{\partial x}-2\sin (2t)\frac{\partial f}{\partial y} - \frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y} \left( \sin (t)\cos (2t) +cos(2t)\sin(t) \right) }}}")
Exemplos parecidos:
https://pir2.forumeiros.com/t79014-regra-da-cadeia
https://pir2.forumeiros.com/t78939-derivada-parcial
Na verdade "y" não é função de x, o exercício pede na realidade para usar a regra da cadeia de várias variáveis :
mas sabemos que :
Exemplos parecidos:
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