FB - Apostila - Trabalho e Conservação de Energia

Giovana Martins escreveu:

A relação P = Fvcos(θ) é válida em se tratando de forças constantes.

Entretanto, note que f = kv² não é constante, pelo contrário, f é diretamente proporcional ao quadrado da velocidade, a qual varia com o tempo tendo em vista a atuação da força de atrito. Neste caso, portanto, ter-se-á a seguinte formulação f(t) = k[v(t)]².

Agora, como faremos então para aplicar P = Fvcos(θ) sendo que f(t) varia com o tempo? Bom, aqui há a sutileza do enunciado.

Note que o enunciado indica uma situação quando a potência é P₀ e pede uma outra situação quando a potência é 2P₀. O que isso quer dizer? A partir daqui subtende-se que estamos lidando com instantes de tempo e para instantes de tempo as grandezas são constantes. Estamos pegando todo o problema e analisando somente casos pontuais, quais sejam, o instante t₁ no qual a potência é P₀ e o instante t₂ no qual a potência é 2P₀.

Partindo-se desta ideia podemos aplicar a relação P = - Fv, tal que θ = 180° uma vez que a força de resistência é contrária ao movimento.

Vamos às contas.

\[\mathrm{Caso\ 1:P_0=-f(t_1)v(t_1)=-k\left [v(t_1)  \right ]^3=-kv_0^3}\]

\[\mathrm{Caso\ 2:2P_0=-f(t_2)v(t_2)=-k\left [ v(t_2) \right ]^3}\]

\[\mathrm{\frac{2P_0}{P_0}=\frac{k\left [ v(t_2) \right ]^3}{kv_0^3}\to v(t_2)=\sqrt[3]{\mathrm{2v_0^3}}\ \therefore\ \boxed{\mathrm{v(t_2)\approx 1,26v_0}}}\]

phodz escreveu:

Giovana Martins escreveu:

A relação P = Fvcos(θ) é válida em se tratando de forças constantes.

Entretanto, note que f = kv² não é constante, pelo contrário, f é diretamente proporcional ao quadrado da velocidade, a qual varia com o tempo tendo em vista a atuação da força de atrito. Neste caso, portanto, ter-se-á a seguinte formulação f(t) = k[v(t)]².

Agora, como faremos então para aplicar P = Fvcos(θ) sendo que f(t) varia com o tempo? Bom, aqui há a sutileza do enunciado.

Note que o enunciado indica uma situação quando a potência é P₀ e pede uma outra situação quando a potência é 2P₀. O que isso quer dizer? A partir daqui subtende-se que estamos lidando com instantes de tempo e para instantes de tempo as grandezas são constantes. Estamos pegando todo o problema e analisando somente casos pontuais, quais sejam, o instante t₁ no qual a potência é P₀ e o instante t₂ no qual a potência é 2P₀.

Partindo-se desta ideia podemos aplicar a relação P = - Fv, tal que θ = 180° uma vez que a força de resistência é contrária ao movimento.

Vamos às contas.

\[\mathrm{Caso\ 1:P_0=-f(t_1)v(t_1)=-k\left [v(t_1)  \right ]^3=-kv_0^3}\]

\[\mathrm{Caso\ 2:2P_0=-f(t_2)v(t_2)=-k\left [ v(t_2) \right ]^3}\]

\[\mathrm{\frac{2P_0}{P_0}=\frac{k\left [ v(t_2) \right ]^3}{kv_0^3}\to v(t_2)=\sqrt[3]{\mathrm{2v_0^3}}\ \therefore\ \boxed{\mathrm{v(t_2)\approx 1,26v_0}}}\]

Excelente solução mestre.

mas acredito que a velocidade nem precisaria variar com o tempo, pois a P0 poderia inserir a mesma quantidade de energia que o atrito tira com o ar, Então E=kv^2*v*t, e em um segundo de intervalo de tempo, E se torna a potencia: P=kv^3.

Tava travando na conta para comparar P0 com 2P0. Excelente sacada. A senhora é mt boa