[Polígonos] O número de diagonais de um polígono...

O número de diagonais de um polígono regular P inscrito em círculo K é 170. Logo:

a) O número de lados de P é ímpar.
b) P não tem diagonais passando pelo centro de K.
c) O ângulo externo de P mede 36º.
d) Uma das diagonais de P é o lado do pentágono regular inscrito K.
e) O número de lados P é múltiplo de 3.

O número de lados é de n(n-3)/2 = 170 -> n = -17 ou n = 20 (claro que só convém a segunda).
a) o número de lados é par (20)
b) P tem n/2 = 10 diagonais pelo centro
c) e = 360/n = 18°
e) 20 não é múltiplo de 3
Só restaria a d. Duas formas de provar:
i. O ângulo central de P é de 18°, do pentágono é de 360/5 = 72°, ou seja, obtemos o ângulo do pentágono com 4 lados consecutivos de P, segue que a diagonal que liga esses vértices distantes 4 lados é lado do pentágono, por causa do arco que o contém.
ii. Partindo do pentágono, geramos o decágono pelas mediatrizes dos lados intersectando a circunferência. Do decágono, idem, geramos o icoságono P, mas os vértices anteriores ainda são usados, então o lado do pentágono é diagonal do icoságono pelos vértices que são remanescentes