Equação do triângulo retângulo

por gabriel93 Qui 08 Dez 2011, 21:39

Seja b e c catetos e h a altura relativa à hipotenusa a de um triângulo. Podemos, então, afirmar que a equaçâo

$Equação do triângulo retângulo Gif$

a) tem sempre raízes reais

b) tem sempre raízes imaginárias

c) tem sempre raízes cuja soma dos quadrados é $Equação do triângulo retângulo Gif$

d) só terá raízes reais se $Equação do triângulo retângulo Gif$

e) nada se pode afirmar

por **Adeilson** Qui 08 Dez 2011, 21:47

Se não me engano é a letra D, eu resolvi esse mesmo problema aqui no forum mês passado, se eu encontra eu posto o link aqui OK!

por **Euclides** Qui 08 Dez 2011, 22:03

gabriel93,

sobre a exibição de sinais em LaTeX, olhe o tutorial do link abaixo. Códigos para Orkut ou LaTeX do google chrome não são vistos por todos.

https://pir2.forumeiros.com/t10980-tutorial-editor-latex-codecogs-video

por **Elcioschin** Qui 08 Dez 2011, 22:19

gabriel

Além de corrigir a equação corrija também o português: raízes

por gabriel93 Qui 08 Dez 2011, 22:33

Agradeço pelas observações, agora já fiz a correção da equação em Latex e do erro de português (esse foi grosseiro, estava com pressa, embora não justifique o raízes com "s"). Obrigado!

:afro:

Equação do triângulo retângulo 653182

por **Elcioschin** Sex 09 Dez 2011, 10:26

gabriel

A alternativa D está incompleta. Por favor corrija.

Suponha o triângulo retângulo com b = 3, c = 4, a = 5

ah = bc ----> 5*h = 3*4 ----> h = 2,4

(2/b)*x² - (2/h)*x + 1/c = 0 ----> (2/3)*x² - (2/2,4)*x + 1/4 = 0 ----> (2/3)*x² - (1/1,2)*x + 1/4 = 0 ----> *12

8x² - 10x + 3 = 0 ---> Discriminante ---> D = (-10)² - 4*8*3 ----> D = 4 ----> \/D = 2

Raízes ----> x = (10 + - 2)/2*8 ----> x' = 3/4 ----> x" = 1/2

Alternativa A ----> OK

Alternativa B ----> Errada

Alternativa C ----> x'² + x"² = (3/4)² + (1/2)² = 9/16 + 1/4 = 13/16 >< 5 ----> Errada

Alternativa D ----> h²bc = (2,4)²*3*4 = 69,12 ----> Não há com que comparar, pois alternativa está incompleta

Alternativa E ----> Idem

por gabriel93 Sex 09 Dez 2011, 11:50

Usando relação métrica do triângulo retângulo:

$\frac{1}{h^2} = \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2}$

$h^2 = \frac{b^2c^2}{b^2 + c^2}$

Na equação, temos a(s) raíz(es):

$\frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$

Para sempre ter raízes reais, $2a \ne 0$ e $\Delta \ge 0$

$2a = \frac{4}{b} \ne 0$ é verdade, pois o numerador da fração é diferente de zero.

$\Delta = b^2 - 4ac = \frac{4}{h^2} - \frac{8}{bc} = \frac{4bc - 8h^2}{h^2bc} = <br /><br />\frac{4(bc - 2h^2)}{h^2bc}$

$\Delta \ge 0 \Longrightarrow bc - 2h^2 \ge 0$

$bc - 2h^2 = bc - \frac{2b^2c^2}{b^2 + c^2} = \frac{bc(b^2 + c^2) - 2b^2c^2}{b^2 + c^2} = \frac{bc(b^2 + c^2 - 2bc)}{b^2 + c^2} = \frac{bc(b - c)^2}{b^2 + c^2}$

Logo $\Delta$ é sempre maior ou igual a $0$ . Isso implica que a equação sempre admite raízes reais. Resposta: $a$

Está certo?

por **Elcioschin** Sex 09 Dez 2011, 14:56

Acho que está certa, considerando b > c

Note que eu tinha dado a alternativa A como correta.

Só não consegui decidir sobre a alternativa D porque ela está INCOMPLETA.

Vou fazê-lo agora

h = 2,4 ---> h² = 5,76 ----> bc = 3*4 ---> bc = 12 ----> h² < bc ----> Alternativa D errada

A única certa é a alternativa A

Confesso, entretanto que a sua solução é correta e muito mais elegante .

por gabriel93 Sex 09 Dez 2011, 15:11

Obrigado Elcioschin por me ajudar. Realmente a alternativa "D" estava incompleta, faltando o sinal de >. Quanto a minha solução creio que possa valer também para os outros casos, quando b < c ou b = c. Repare que (b - c)² sempre vai ser maior ou igual a 0.