Determinação de coeficientes

por Rafael Vagner pfs Ter 25 Jun 2024, 15:51

Determine A, B e C, na decomposição 1/(x³ - 1) = A/(x - 1) + (Bx + C)/(x² + x + 1)

por Lipo_f Ter 25 Jun 2024, 16:33

Temos A/(x-1) + (Bx+c)/(x²+x+1) = [A(x²+x+1) + (Bx+C)(x-1)]/(x³-1), então basta o numerador ser idêntico a 1 => 1 ≡ A(x² + x + 1) + (Bx + C)(x-1) = Ax² + Ax + A + Bx² - Bx + Cx - C = x²(A + B) + x(A - B + C) + (A - C)
=> A + B = 0, A - B + C = 0 e A - C = 1
Da primeira, A = - B => 2A + C = 0. Da segunda, C = A - 1 => 3A - 1 = 0 => A = 1/3 => B = -1/3 e C = -2/3.

por **Elcioschin** Ter 25 Jun 2024, 16:36

1/(x - 1).)(x² + x + 1) = [A.(x² + x + 1) + (B.x + C).(x - 1)]/(x - 1).(x² + x + 1)

Denominadores idênticos; basta igualar numeradores:

1 = A(x² + x + 1) + (B.x + C).(x - 1)

0.x² + 0.x + 1 = A.x² + A.x + A + B.x² - B.x + C.x - C

0.x² + 0.x + 1 = (A + B).x² + (A - B + C).x + (A - C)

Igualando, termo a termo:

A + B = 0 ---> I

A - B + C = 0 --> II

A - C = 1 ---> III

Resolva o sistema