Geometria espacial esfera na pirâmide

A área lateral de uma pirâmide quadrangular regular é igual ao dobro da área de sua base. A razão entre o volume da esfera inscrita nessa pirâmide e o volume da pirâmide é?

Gabarito: π/9

A pirâmide é formada por uma base quadrada de lado a e quatro arestas de tamanho b. Seja h a altura de uma face lateral => Sface = ha/2, logo a área lateral é de 4ha/2 = 2ha, que é o dobro da base: 2a² => h = a. Seja H a altura da pirâmide.
A esfera tangencia a face lateral bem por onde passa a altura h e a base bem em seu centro. Tomando uma secção pela altura h de uma das faces laterais e pelo centro da pirâmide, temos um círculo inscrito em um triângulo de lados laterais h, h (afinal a secção deve passar pela altura da face lateral oposta) e base a (paralela a dois lados do quadrado). Como h = a, tenho um círculo inscrito num triângulo equilátero de altura H. Como incentro e baricentro são iguais nesses triângulos, o raio da inscrita divide a altura na razão 1:2 => r = H/3.
Volume esfera: Ve = 4/3 pi r³ = 4piH³/81
Volume pirâmide: Vp = 1/3 . a²H = a²H/3
=> razão = (4piH³/81)/(a²H/3) = 4pi/27 . H²/a²
Como H é altura do equilátero de lado a, H = a√3/2 -> H² = 3a²/4
-> razão = 4pi/27 . (3a²/4)/a² = pi//9.