triângulo equilátero no triângulo retângulo

por **Euclides** Seg 15 Nov 2010, 15:05

A questão não pode ser postada sem um enunciado em modo texto

Ítem VII do regulamento. Clicar no botão.

por **adriano tavares** Seg 15 Nov 2010, 16:11

Olá,andrerj.

Quando você for postar esse tipo de questão escreva o texto, "de preferência em português", pois isso facilitará a compreensão de todos os participantes do fórum.

Esse exercício pede para que se calcule o valor do lado do triângulo equilátero de comprimento x em função dos lados a e b do triângulo retângulo, sabendo que um de seus lados está sobre a hipotenusa.

triângulo equilátero no triângulo retângulo 15112010p1

triângulo equilátero no triângulo retângulo 15112010p1

Aplicando Pitágoras no triângulo ABC teremos:

$BC=\sqrt{a^2+b^2}$

Note que a altura do triângulo equilátero é igual a altura do triângulo ABC em relação a hipotenusa.Vamos calcular a altura h aplicando as relações métricas no triângulo retângulo.

$(AB).(AC)=(BC).h\Rightarrow a.b=\sqrt{a^2+b^2}.h \Rightarrow h=\frac{ab}{\sqrt{a^2+b^2}}$ (I)

$h=\frac{x\sqrt{3}}{2}$ (II)

Igualando (I) e (II) teremos:

$\frac{x\sqrt{3}}{2}=\frac{ab}{\sqrt{a^2+b^2}}\Rightarrow x=\frac{2ab}{\sqrt{3}.\sqrt{a^2+b^2}}\Rightarrow\frac{2ab}{\sqrt{3a^2+3b^2}}$