Iezzi 3 volumes complementos sobre funções exercício 1

Giovana Martins escreveu:

Inicialmente, note que D(f) = ℤ e CD(f) = ℤ.

Agora, façamos uma manipulação algébrica, qual seja:

\[\mathrm{f(x)=4x-1\to x=\frac{f(x)+1}{4}}\]

Como D(f) = ℤ, logo, x ∈ ℤ. Entretanto, da manipulação algébrica acima, note que x não pertencerá aos inteiros a depender do valor que atribuímos a f(x). Por exemplo, se f(x) = 0, x ∉ ℤ. Assim, concluímos que Im(f) ≠ ℤ.

Sendo CD(f) = ℤ e Im(f) ≠ ℤ, logo, f(x) não é sobrejetora, pois para uma função ser sobrejetora a sua imagem e o seu contradomínio devem ser iguais.

brunoriboli escreveu:

Giovana Martins escreveu:

Inicialmente, note que D(f) = ℤ e CD(f) = ℤ.

Agora, façamos uma manipulação algébrica, qual seja:

\[\mathrm{f(x)=4x-1\to x=\frac{f(x)+1}{4}}\]

Como D(f) = ℤ, logo, x ∈ ℤ. Entretanto, da manipulação algébrica acima, note que x não pertencerá aos inteiros a depender do valor que atribuímos a f(x). Por exemplo, se f(x) = 0, x ∉ ℤ. Assim, concluímos que Im(f) ≠ ℤ.

Sendo CD(f) = ℤ e Im(f) ≠ ℤ, logo, f(x) não é sobrejetora, pois para uma função ser sobrejetora a sua imagem e o seu contradomínio devem ser iguais.

Desculpa mas eu não entendi. O que você fez foi achar f^-1 (x). Apenas tentar descobrir os elementos de Z que podem não ser inteiros do contradomínio na função não é suficiente pra concluir que ela é sobrejetora?

Giovana Martins escreveu:

brunoriboli escreveu:

Giovana Martins escreveu:

Inicialmente, note que D(f) = ℤ e CD(f) = ℤ.

Agora, façamos uma manipulação algébrica, qual seja:

\[\mathrm{f(x)=4x-1\to x=\frac{f(x)+1}{4}}\]

Como D(f) = ℤ, logo, x ∈ ℤ. Entretanto, da manipulação algébrica acima, note que x não pertencerá aos inteiros a depender do valor que atribuímos a f(x). Por exemplo, se f(x) = 0, x ∉ ℤ. Assim, concluímos que Im(f) ≠ ℤ.

Sendo CD(f) = ℤ e Im(f) ≠ ℤ, logo, f(x) não é sobrejetora, pois para uma função ser sobrejetora a sua imagem e o seu contradomínio devem ser iguais.

Desculpa mas eu não entendi. O que você fez foi achar f^-1 (x). Apenas tentar descobrir os elementos de Z que podem não ser inteiros do contradomínio na função não é suficiente pra concluir que ela é sobrejetora?

Bruno, em nenhum momento eu achei a inversa de f(x). Eu apenas explicitei a variável x.

Para descobrirmos a inversa de f(x) o processo é parecido, mas ainda assim diferente do que eu fiz. Veja o processo de obtenção da inversa de f(x) = 4x - 1.

f(x) = 4x - 1

Fazendo f(x) = x e x = y:

x = 4y - 1 → y = 0.25x + 0.25 (inversa de f(x) = 4x - 1)

Percebe agora que na minha resolução anterior eu apenas explicitei a variável x?

Eu explicitei a variável x apenas verificar se a imagem de f(x) pertencia ao conjunto dos inteiros ou não, pois uma vez que eu conheço o contradomínio da função, para descobrir se esta é sobrejetora ou não, basta comparar o contradomínio com o conjunto imagem.

Veja se agora você consegue entender a minha resolução. Se houver dúvidas, é só falar que eu tento melhorar a minha explicação.

brunoriboli escreveu:

Giovana Martins escreveu:

brunoriboli escreveu:

Giovana Martins escreveu:

Inicialmente, note que D(f) = ℤ e CD(f) = ℤ.

Agora, façamos uma manipulação algébrica, qual seja:

\[\mathrm{f(x)=4x-1\to x=\frac{f(x)+1}{4}}\]

Como D(f) = ℤ, logo, x ∈ ℤ. Entretanto, da manipulação algébrica acima, note que x não pertencerá aos inteiros a depender do valor que atribuímos a f(x). Por exemplo, se f(x) = 0, x ∉ ℤ. Assim, concluímos que Im(f) ≠ ℤ.

Sendo CD(f) = ℤ e Im(f) ≠ ℤ, logo, f(x) não é sobrejetora, pois para uma função ser sobrejetora a sua imagem e o seu contradomínio devem ser iguais.

Desculpa mas eu não entendi. O que você fez foi achar f^-1 (x). Apenas tentar descobrir os elementos de Z que podem não ser inteiros do contradomínio na função não é suficiente pra concluir que ela é sobrejetora?

Bruno, em nenhum momento eu achei a inversa de f(x). Eu apenas explicitei a variável x.

Para descobrirmos a inversa de f(x) o processo é parecido, mas ainda assim diferente do que eu fiz. Veja o processo de obtenção da inversa de f(x) = 4x - 1.

f(x) = 4x - 1

Fazendo f(x) = x e x = y:

x = 4y - 1 → y = 0.25x + 0.25 (inversa de f(x) = 4x - 1)

Percebe agora que na minha resolução anterior eu apenas explicitei a variável x?

Eu explicitei a variável x apenas verificar se a imagem de f(x) pertencia ao conjunto dos inteiros ou não, pois uma vez que eu conheço o contradomínio da função, para descobrir se esta é sobrejetora ou não, basta comparar o contradomínio com o conjunto imagem.

Veja se agora você consegue entender a minha resolução. Se houver dúvidas, é só falar que eu tento melhorar a minha explicação.

Fazendo essa explicitação de x então eu encontro a imagem de f e verifico se ela é diferente do contradomínio? Se for diferente Im de f do contradomínio de f não é sobrejetora?

Giovana Martins escreveu:

brunoriboli escreveu:

Giovana Martins escreveu:

brunoriboli escreveu:

Giovana Martins escreveu:

Inicialmente, note que D(f) = ℤ e CD(f) = ℤ.

Agora, façamos uma manipulação algébrica, qual seja:

\[\mathrm{f(x)=4x-1\to x=\frac{f(x)+1}{4}}\]

Como D(f) = ℤ, logo, x ∈ ℤ. Entretanto, da manipulação algébrica acima, note que x não pertencerá aos inteiros a depender do valor que atribuímos a f(x). Por exemplo, se f(x) = 0, x ∉ ℤ. Assim, concluímos que Im(f) ≠ ℤ.

Sendo CD(f) = ℤ e Im(f) ≠ ℤ, logo, f(x) não é sobrejetora, pois para uma função ser sobrejetora a sua imagem e o seu contradomínio devem ser iguais.

Desculpa mas eu não entendi. O que você fez foi achar f^-1 (x). Apenas tentar descobrir os elementos de Z que podem não ser inteiros do contradomínio na função não é suficiente pra concluir que ela é sobrejetora?

Bruno, em nenhum momento eu achei a inversa de f(x). Eu apenas explicitei a variável x.

Para descobrirmos a inversa de f(x) o processo é parecido, mas ainda assim diferente do que eu fiz. Veja o processo de obtenção da inversa de f(x) = 4x - 1.

f(x) = 4x - 1

Fazendo f(x) = x e x = y:

x = 4y - 1 → y = 0.25x + 0.25 (inversa de f(x) = 4x - 1)

Percebe agora que na minha resolução anterior eu apenas explicitei a variável x?

Eu explicitei a variável x apenas verificar se a imagem de f(x) pertencia ao conjunto dos inteiros ou não, pois uma vez que eu conheço o contradomínio da função, para descobrir se esta é sobrejetora ou não, basta comparar o contradomínio com o conjunto imagem.

Veja se agora você consegue entender a minha resolução. Se houver dúvidas, é só falar que eu tento melhorar a minha explicação.

Fazendo essa explicitação de x então eu encontro a imagem de f e verifico se ela é diferente do contradomínio? Se for diferente Im de f do contradomínio de f não é sobrejetora?

Quase isso.

Então, a imagem em si eu não encontro, mas eu garanto que a imagem de f(x) é diferente do conjunto dos inteiros, pois não é todo f(x) que me retorna um x inteiro.

Mas só o fato de eu saber que a imagem de f(x) é diferente do conjunto dos inteiros ja me é suficiente para concluir que a imagem de f(x) é diferente do contradomínio de f(x) e, portanto, que f(x) não é sobrejetora.

brunoriboli escreveu:

Giovana Martins escreveu:

brunoriboli escreveu:

Giovana Martins escreveu:

brunoriboli escreveu:

Giovana Martins escreveu:

Inicialmente, note que D(f) = ℤ e CD(f) = ℤ.

Agora, façamos uma manipulação algébrica, qual seja:

\[\mathrm{f(x)=4x-1\to x=\frac{f(x)+1}{4}}\]

Como D(f) = ℤ, logo, x ∈ ℤ. Entretanto, da manipulação algébrica acima, note que x não pertencerá aos inteiros a depender do valor que atribuímos a f(x). Por exemplo, se f(x) = 0, x ∉ ℤ. Assim, concluímos que Im(f) ≠ ℤ.

Sendo CD(f) = ℤ e Im(f) ≠ ℤ, logo, f(x) não é sobrejetora, pois para uma função ser sobrejetora a sua imagem e o seu contradomínio devem ser iguais.

Desculpa mas eu não entendi. O que você fez foi achar f^-1 (x). Apenas tentar descobrir os elementos de Z que podem não ser inteiros do contradomínio na função não é suficiente pra concluir que ela é sobrejetora?

Bruno, em nenhum momento eu achei a inversa de f(x). Eu apenas explicitei a variável x.

Para descobrirmos a inversa de f(x) o processo é parecido, mas ainda assim diferente do que eu fiz. Veja o processo de obtenção da inversa de f(x) = 4x - 1.

f(x) = 4x - 1

Fazendo f(x) = x e x = y:

x = 4y - 1 → y = 0.25x + 0.25 (inversa de f(x) = 4x - 1)

Percebe agora que na minha resolução anterior eu apenas explicitei a variável x?

Eu explicitei a variável x apenas verificar se a imagem de f(x) pertencia ao conjunto dos inteiros ou não, pois uma vez que eu conheço o contradomínio da função, para descobrir se esta é sobrejetora ou não, basta comparar o contradomínio com o conjunto imagem.

Veja se agora você consegue entender a minha resolução. Se houver dúvidas, é só falar que eu tento melhorar a minha explicação.

Fazendo essa explicitação de x então eu encontro a imagem de f e verifico se ela é diferente do contradomínio? Se for diferente Im de f do contradomínio de f não é sobrejetora?

Quase isso.

Então, a imagem em si eu não encontro, mas eu garanto que a imagem de f(x) é diferente do conjunto dos inteiros, pois não é todo f(x) que me retorna um x inteiro.

Mas só o fato de eu saber que a imagem de f(x) é diferente do conjunto dos inteiros ja me é suficiente para concluir que a imagem de f(x) é diferente do contradomínio de f(x) e, portanto, que f(x) não é sobrejetora.

Valeu. Muito obrigado ajudou demais. Eu achei que o Z do domínio que definia o contradomínio. Mas na verdade é ele quem já está definido rsrs. Obrigado.

Giovana Martins escreveu:

brunoriboli escreveu:

Giovana Martins escreveu:

brunoriboli escreveu:

Giovana Martins escreveu:

brunoriboli escreveu:

Giovana Martins escreveu:

Inicialmente, note que D(f) = ℤ e CD(f) = ℤ.

Agora, façamos uma manipulação algébrica, qual seja:

\[\mathrm{f(x)=4x-1\to x=\frac{f(x)+1}{4}}\]

Como D(f) = ℤ, logo, x ∈ ℤ. Entretanto, da manipulação algébrica acima, note que x não pertencerá aos inteiros a depender do valor que atribuímos a f(x). Por exemplo, se f(x) = 0, x ∉ ℤ. Assim, concluímos que Im(f) ≠ ℤ.

Sendo CD(f) = ℤ e Im(f) ≠ ℤ, logo, f(x) não é sobrejetora, pois para uma função ser sobrejetora a sua imagem e o seu contradomínio devem ser iguais.

Desculpa mas eu não entendi. O que você fez foi achar f^-1 (x). Apenas tentar descobrir os elementos de Z que podem não ser inteiros do contradomínio na função não é suficiente pra concluir que ela é sobrejetora?

Bruno, em nenhum momento eu achei a inversa de f(x). Eu apenas explicitei a variável x.

Para descobrirmos a inversa de f(x) o processo é parecido, mas ainda assim diferente do que eu fiz. Veja o processo de obtenção da inversa de f(x) = 4x - 1.

f(x) = 4x - 1

Fazendo f(x) = x e x = y:

x = 4y - 1 → y = 0.25x + 0.25 (inversa de f(x) = 4x - 1)

Percebe agora que na minha resolução anterior eu apenas explicitei a variável x?

Eu explicitei a variável x apenas verificar se a imagem de f(x) pertencia ao conjunto dos inteiros ou não, pois uma vez que eu conheço o contradomínio da função, para descobrir se esta é sobrejetora ou não, basta comparar o contradomínio com o conjunto imagem.

Veja se agora você consegue entender a minha resolução. Se houver dúvidas, é só falar que eu tento melhorar a minha explicação.

Fazendo essa explicitação de x então eu encontro a imagem de f e verifico se ela é diferente do contradomínio? Se for diferente Im de f do contradomínio de f não é sobrejetora?

Quase isso.

Então, a imagem em si eu não encontro, mas eu garanto que a imagem de f(x) é diferente do conjunto dos inteiros, pois não é todo f(x) que me retorna um x inteiro.

Mas só o fato de eu saber que a imagem de f(x) é diferente do conjunto dos inteiros ja me é suficiente para concluir que a imagem de f(x) é diferente do contradomínio de f(x) e, portanto, que f(x) não é sobrejetora.

Valeu. Muito obrigado ajudou demais. Eu achei que o Z do domínio que definia o contradomínio. Mas na verdade é ele quem já está definido rsrs. Obrigado.

Disponha!

É exatamente isso. Quando o enunciado informa que f : ℤ → ℤ ele já está te indicando quem é o domínio e qual o contradomínio.