[Resolvido]Resolução de inequação no conjunto dos números reais

por Anderson M. Seg 13 Jan 2020, 18:32

(Cefet - MG) Resolva a inequação em R:

[(x-1)¹⁰⁰ * (-x+2)¹⁰¹ * (x²-4)]/(x³-27) < 0

Resposta: x<-2 ou x>3

por **Elcioschin** Seg 13 Jan 2020, 20:08

x² - 4 = (x - 2).(x + 2) = -1.(- x + 2).(x + 2)

x³ - 27 = x³ - 3³ = (x - 3).(x² + 3.x + 9)

(x - 1)¹⁰⁰.(- x + 2)¹⁰¹.(-1)(- x + 2).(x + 2)
------------------------------------------------- < 0
............ (x - 3).(x² + 3.x + 9)

(x - 1)¹⁰⁰.(- x + 2)¹⁰².(x + 2)
----------------------------------- > 0
..... (x - 3).(x² + 3.x + 9)

Os termos em verde são positivos pois estão elevados a expoente par
O termo em vermelho é sempre positivo pois tem raízes complexas

O sinal da expressão depende apenas de (x + 2) e (x - 3) com raízes x = -2 e x = 3

Quadro de sinais varal)

................... -2 ......................... 3 .....................
(x + 2) --------0 ++++++++++++++++++++++
(x - 3) --------------------------------N+++++++++

Solução: +++ 0 -------------------- N +++++++++

x < - 2 e x > 3