números complexos

por LBello 27/4/2016, 2:12 pm

Determinar o número complexo z = x + yi, {x,y} C IR, tal que:

z^2 + z = z

Obs.: z é o conjugado de z. O gabarito tem como respostas: z = 0 + 0i ou z = -1 + i ou z = -1 - i. Encontrei as duas últimas respostas, mas o que falta para encontrar a primeira (z = 0 + 0i)?

Fiz assim:

z^2 + z = z
(x+yi)^2 + (x+yi) = (x-yi)
x^2 + 2xyi + y^2i^2 + x + yi = x - yi
x^2 + x - y^2 + 2xyi + yi = x - yi

x^2 + x - y^2 = x ----------> x^2 = y^2
2xy + y = -y x^2 = (-xy)^2
-2y = 2xy x^2 = x^2y^2
y = -xy y^2 = 1
y = +-1

Portanto: y = 1 ; x = -1 -------------------> z = -1 + i
y = -1; x = -1 -------------------> z = -1 - i

por Phantom 27/4/2016, 4:16 pm

Seu erro foi não considerar casos extremos.

E se y = 0, isto é, se esse número z for um real puro? E se x = 0, isto é, e se z for um imaginário puro?

Nesse 1º caso, z² + z = conj[z] resultaria em x² + x = x, de onde concluiríamos x = 0.

Ou no segundo caso, z² + z = conj[z] resultaria em (iy)² + iy = -iy --> -y² + iy = -iy --> y² - 2iy = 0 --> y(y-2i) = 0 --> y = 0 ou y = 2i; y = 2i é um absurdo, pois foi dado que y é real; logo, a única solução seria y = 0.

Somando o 1º caso e o 2º caso analisados, chegamos que x = y = 0 é uma solução.

Outra forma seria pela forma exponencial (de Euler):

z = |z|*e^ip, onde p é o argumento principal do número complexo z e |z| denota o módulo de z.

A equação se tornaria: |z|[e^(2ip) + e^(ip)] = |z|[e^(-ip)].

Essa equação dá como resultados os dois complexos que você encontrou, mas é preciso analisar o caso em que |z| é nulo (x = y = 0).

por LBello 27/4/2016, 4:38 pm

Obrigado pelos esclarecimentos.

por Phantom 27/4/2016, 4:40 pm

A fórmula trigonométrica também esclarece os casos que você esqueceu.

z = |z|*cisp
z² + z = conj[z] --> |z|²*cis(2p) + |z|*cis(p) = |z|cis(-p)
|z|[|z|*cis(2p) + cis(p) + cis(-p) = 0 <--> |z| = 0 ou [|z|*cis(2p) + cis(p) + cis(-p) = 0; |z| = 0 nos daria o caso x = y = 0, enquanto a outra equação nos daria o resultado que você encontrou (embora com mais trabalho algébrico, mas isso é minha opinião pessoal).