Números Complexos.

Sejam x, y e z números complexos tais que:
I. x + y + z = 2
II. x² + y² + z² = 3
III. xyz = 4

Calcule o valor de .

Resp.: -2/9


Boa noite amigos!
Oq acham? Acho que os fatores uma hora se anulam...
Porém, eu cheguei a tentar fazer a mão todas as fatorações, porém, apenas algumas coisas cortaram, e aí n sei oq faço
Há um jeito mais prático pra fazer esse tipo de questão?

Obrigado!

Boa noite Floral Fury;

Observe que [latex]z = 2 -(x + y)[/latex]

[latex]\frac{1}{xy + z -1} = \frac{1}{xy +( 2 -x - y) -1} = \frac{1}{x(y-1) - (y -1)} = \frac{1}{(x-1)(y-1)}[/latex]

Procedendo analogamente:(ou por comparação da simetria do sistema das variáveis x, y e z)

[latex]\frac{1}{xz + y -1} = \frac{1}{(x-1)(z-1)} \text{ }\text{ e } \text{ }\frac{1}{yz + x -1} = \frac{1}{(y-1)(z-1)}[/latex]

[latex]S = \frac{1}{(x-1)(z-1)} + \frac{1}{(y-1)(z-1)} + \frac{1}{(x-1)(y-1)} = \frac{(z-1) + (x -1) + (y-1)}{(x-1)(y-1)(z-1)} \implies

S = \frac{(x + y + z) -3}{(x+y + z ) - (xy + xz + yz) + xyz -1 } [/latex]

Observemos que:

[latex](x+y + z)^2 = x^2 + y^2 + z^2 +2(xy + xz + yz) \implies (xy + xz + yz) = 1/2[/latex]

Basta fazer a substituição com os valores conhecidos:

[latex]S = -\frac{2}{9}[/latex]

É claro que faltou conferir se nenhum valor x,y ou z é 1, senão a expressão S não está definida por causa dos termos racionais em:

[latex]S = \frac{(z-1) + (x -1) + (y-1)}{(x-1)(y-1)(z-1)}[latex]

(Existe a possibilidade do resultado obtido ser uma anomalia da divisão por zero)

Dica: com os valores que a gente conhece do sistema dessas variáveis é possível armar todos os coeficientes de um polinômio de P(a) do 3º grau cujas raízes são x, y e z pelas relações de "Girard", mostre que P(1) ≠ 0.

Bons estudos

Olá colega João!
Como sempre me salvando das dúvidas kkkkk.

Interessante essa manipulação do x, y e z. Eu tinha tentado usar ela dps de ter multiplicado aquelas coisas horríveis da equação kkkkk.

Obrigado!