numeros complexos

por Helbert Aguiar Sáb 02 Mar 2013, 17:16

olá,

Seja A módulo do número complexo (2 - 2√3i)^10.Então o valor de x que verifica a igualdade (4A)^x=A é?

achei a reposta na internet porem não entendi a primeira parte da resolução
começa assim:

||=simbolo módulo

A=|(2 - 2√3i)^10|= (|2 - 2√3i|)^10
porque ocorreu isso?baseando em que isso é possivel?
ou seja,se um numero complexo estiver numa potencia,basta achar o modulo do numero sem a potencia e depois elevar?
Caso queiram indicar uma fonte que possa agregar mais o meu conhecimento em numeros complexos agradeço tbm.

Resp:
x=11/10

por Helbert Aguiar Sáb 02 Mar 2013, 17:35

tal exercício é a questão 1 de matemática da prova de 1993 do ITA.

por **Elcioschin** Sáb 02 Mar 2013, 18:20

A propriedade é ----> |Z^n| = |Z|^n

No teu problema Z = 2 - 2\/3i e n = 10

|Z| = \/[2² + (-2\/3)²] ----> |Z| = \/16 ----> |Z| = 4 ----> |Z| = 2^2

A = |Z|^10 ----> A = (2^2)^10 ----> A = 2^20

(4A)^x = A ---> (2².2^20)^x = 2^20 ---> (2^22)^x = 2^20 ---> 2^22x = 2^20 ---> 22x = 20 ---> x = 10/11

por Helbert Aguiar Sáb 02 Mar 2013, 20:04

Caro Elcioschin,
faltou somente tirar a raiz do modulo que deveria ser 4 e não 16.
assim:
|z|^10= 4^10 = a
4a^x=a
(4.4^10)^x=4^10
(4^11)^x=4^10
4^11x=4^10
11x=10
x=10/11

meu gabarito estava 11/10 so falto elevar a -1,para estar igual ao oficial.
kkkk

Encontrei tal propriedade na internet e outras mais no link abaixo:
http://www.mat.ufrgs.br/~vclotilde/disciplinas/html/propriedades.pdf

por Helbert Aguiar Sáb 02 Mar 2013, 20:12

Obrigado

por **Elcioschin** Dom 03 Mar 2013, 09:28

Helbert

Você está certo. Faltou a raiz quadrada no cálculo no módulo

Já editei (em vermelho) a minha mensagem

Obrigado pelo alerta

por **JOAO [ITA]** Dom 03 Mar 2013, 14:49

Essa propriedade, |Z^n| = |Z|^n, se deve à Lei de De Moivre.
Vou enunciá-la e demonstrá-la aqui.

Enunciado: Seja Z um número complexo ,vem que Z^n, sendo n um número real, é igual a (|Z|^n).cis( θ.n), sendo θ o argumento principal de Z.

Demonstração: A partir da identidade de Euler (demonstrável por Séries de Taylor), tem-se que:
Z = |Z|.[e^(i. θ)], assim, Z^n = (|Z|^n).[e^(i. n.θ)] (Propriedades da potenciação:(a.b)^n =(a^n).(b^n) e (a^b)^n = a^(b.n) ).
Mas Z^n = (|Z|^n).[e^(i. n.θ)] = (|Z|^n).cis(θ.n). C.q.d

A partir dessa propriedade, tem-se que:
|Z^n| = |(|Z|^n).cis(θ.n)| = |Z|^n , que era a propriedade que queríamos demonstrar.