ITA - Números Complexos

Seja z pertencente aos complexos. Calcule a soma das raízes de z³ + z² -|z|² + 2z = 0

Minha solução:

|z| = z, se z ≥ 0
|z| = -z, se z < 0

Portanto: se |z| < 0

z³ + z² - z² + 2z = 0
z³ + 2z = 0
z(z² + 2) = 0

z' = 0
z'' = √2.i
z''' = -√2.i
Soma das raízes = 0 (Eu achei visível perceber também que o termo de z¹ é zero).

ou se |z| ≥ 0

z³ + z² + z² + 2z = 0
z³ + 2z² + 2z = 0
z(z² + 2z +2) = 0

z' = 0
z'' = -1 + i
z''' = -1 -i
Soma das raízes = -2.

Minha dúvida é a seguinte: na solução que eu vi para esse problema o autor só admite a resposta (-2), mas o problema não admite dupla resposta? O 0 também não seria solução? Se meu raciocínio estiver errado de alguma forma por favor me corrijam!

Olá, perdão se não compreendi sua dúvida, mas creio que seja isso:

O zero é solução sim, pois os reais estão 'dentro' dos complexos, porém, como ele quer a soma das raízes, o zero não irá interferir em nada:
0-1+i-1-i = -2

Sim mas com a definição de módulo não seria correto dizer que V=(0 ; -2) ao invés de apenas V=(-2) como está no livro? Desculpe se me expressei mal...

The Fool escreveu:
|z| = z, se z ≥ 0
|z| = -z, se z < 0

Essa relação só seria valida se z fosse um número real, mas como z é complexo tem-se que:
z = a + ib → |z| = √(a² + b²)

Para resolver essa equação, primeiro utilize a identidade |z|² = z.z* (z* é conjugado de z, ou seja, z = a - ib). Assim:
z³ + z² - |z|² + 2z = 0 → z³ + z² - z.z* + 2z = 0 → z(z² + z - z* + 2) = 0 → z = 0 ou z² + z - z* + 2 = 0

Substituindo z = a + ib:
(a + ib)² + (a + ib) - (a - ib) + 2 = 0 → a² + i(2ab) - b² + i(2b) + 2 = 0 → (a² - b² + 2) + 2i(ab + b) = 0

Como a,b∈ℝ, então as partes real e imaginaria tem que ser iguais a zero. Assim:
{a² - b² + 2 = 0
{ab + b = 0
Resolvendo o sistema acima, obtém-se os pares (a,b) de soluções como sendo (-1, √3) e (-1, -√3).

Assim, as raízes dessa equação são z = 0, z = -1 + i√3 e z = -1 - i√3.

Muita boa sua explicação mauk, obrigado! Tirou completamente minha dúvida. Acho q viajei um pouco tentando resolver esse problema hahaha