Números complexos

por Maira_987 Sex 20 Out 2017, 19:01

Seja z = a + bi, sendo i = raiz de - 1, um número complexo e z +1/z um número real. Podemos afirmar que:
A) a = b
B) a > 0 e b = 0
C) |z| = 1
D) z é um número real
E) z = i

Resposta: c

por Mathematicien Sex 20 Out 2017, 19:28

1/z = 1 / (a + bi)

Multiplicando pelo conjugado em cima e embaixo, fica:

(a - bi) / (a² + b²) = (a - bi) / (|z|)

z + 1/z = (a + bi) + (a - bi) / (|z|)

Agora você pode ir testando as opções e ver qual faz sentido. Não pode ter nenhuma parte imaginária, porque é um número real.

A única resposta que faz sentido é letra (c).

por Maira_987 Sex 20 Out 2017, 19:52

Obrigada!!

por **Elcioschin** Sex 20 Out 2017, 19:57

Existe um erro: (a + b.i).(a - b.i) = a² + b²

z + 1/z = (a + b.i) + 1/(a + b.i)

z + 1/z = (a + b.i) + (a - bi)/(a + b.i).(a - b.i)

z + 1/z = (a + b.i) + (a - b.i)/(a² + b²)

z + 1/z = (a + bi) + a/(a² + b²) - b.i/(a² + b²)

z + 1/z = [a + a/(a² + b²)] + b.[1 - 1/(a² + b²)].i

Para ser real o último coeficiente de i deve ser nulo. Existem duas possibilidades:

1) b = 0

2) 1 - 1/(a² + b²) = 0 ----> (a² + b² - 1)/(a² + b²) = 0 ---> a² + b² = 1

|z|² = a² + b² ---> |z|² = 1 ---> |z| = 1