máximo e mínimo

[latex]\mathrm{Regra\ da\ Pot\hat{e}ncia: \frac{d}{dx}\left \{ [f(x)]^n \right \}=n[f(x)]^{n-1}\frac{df(x)}{dx}}[/latex]

[latex]\mathrm{Assim:\frac{d}{dx}\left [ \left ( 3+2x-x^3 \right )^{\frac{1}{2}} \right ]=\frac{2-3x^2}{2\sqrt{3+2x-x^3}}}[/latex]

[latex]\mathrm{Ponto\ critico:\frac{df(x)}{dx}=0\to \frac{2-3x^2}{2\sqrt{3+2x-x^3}}=0\ \therefore\ x=\pm \sqrt{\frac{2}{3}}\approx \pm 0.82}[/latex]

[latex]\mathrm{Teste\ da\ 2^a\ derivada:\frac{d^2f(x)}{dx^2}=\frac{1}{2}\frac{d}{dx}\left ( \frac{2-3x^2}{\sqrt{3+2x-x^3}} \right )}[/latex]

[latex]\mathrm{Regras\ do\ Quociente:\frac{d}{dx}\left [ \frac{p(x)}{q(x)} \right ]=\frac{1}{\left [ q(x) \right ]^2}\left [ q(x)\frac{dp(x)}{dx}-p(x)\frac{dp(x)}{dx} \right ]}[/latex]

[latex]\mathrm{Assim:\frac{d^2f(x)}{dx^2}=\frac{3x^4-12x^2-36x-4}{4\sqrt{\left ( -x^3+2x+3 \right )^3}}}[/latex]

[latex]\mathrm{\therefore\ \underset{M\acute{a}ximo\ local}{\left [ \frac{d^2f(x)}{dx^2} \right ]_{x=\sqrt{\frac{2}{3}}}\approx -3.72<0}\ e\ \underset{Minimo\ local}{\left [ \frac{d^2f(x)}{dx^2} \right ]_{x=-\sqrt{\frac{2}{3}}}\approx 5.06>0}}[/latex]

[latex]\mathrm{Assim:f\left ( \sqrt{\frac{2}{3}} \right )\approx2.02\ \acute{e}\ um\ m\acute{a}ximo\ local \ e\ f\left (-\sqrt{\frac{2}{3}}  \right )\approx 1.38\ \acute{e}\ um\ minimo\ local[/latex]

Agora, aqui deve-se ter cuidado, pois note que f(x) é definida no intervalo - 0.5 ≤ x ≤ 1, ou seja, f(x) não é definida para x = - √(2/3). Deste modo, a conclusão de que f(-√(2/3)) ≈ 1.38 é um mínimo local é falsa. O mínimo local ocorre para f(-0.5), tal que f(-0.5) ≈ 1.46.

Obrigada, mestre.

Apenas mais uma consideração: eu cometi um erro de digitação ao escrever a regra do quociente. Segue a expressão correta: