Máximo & Mínimo

por xavilu Seg 27 Dez 2010, 21:17

boas, como faço para encontrar máximo e mínimo?

Código:: f(x)=x⁴-5x²+4 [-3,5]

Faço derivada e = 0 ?

por **Elcioschin** Seg 27 Dez 2010, 22:09

Sim, mas não é suficiente. É necessário também calcular a derivada segunda:

f(x) = x^4 - 5x² + 4

f '(x) = 4x³ - 10x ----> 2x*(2x² - 5) = 0 ----> x = 0 ou x = + \/(10)/2 ou x = - \/(10)/2

f "(x) = 12x² - 10

Para x = 0 -----> f "(0) = - 10 ----> Máximo
Para x = +\/(10)/2 ----> f "(+\/10/2) = 20 ----> Mínimo
Para x = -\/(10)/2 ----> f "(-\/10/2) = 20 ----> Mínimo

por xavilu Ter 28 Dez 2010, 11:56

Cara fiz agora outro exemplo:

f(x)=x⁴-5x²+4 [-1,2]

fiz exactamente pelo mesmo processo, mas os resultados dão mal, devia dar 4-> max; -9/4->min;

por **Euclides** Ter 28 Dez 2010, 13:57

A derivada de uma função, calculada para um ponto da função, fornece o coeficiente angular da tangente à função naquele ponto. Assim, por exemplo, se considerarmos a função

f(x)=x^2+1

no ponto (2, 5)

$f'(x)=2x\\f'(2)=4\\m=4$

então temos o coeficiente angular da tangente no ponto (2, 5), m=4. Essa tangente será uma reta na forma

y=mx+b

e como passa pelo ponto dado

$5=4.2+b\,\,\to\,\,b=-3\\\\y=4x-3$

que é a equação da tangente no ponto dado.

Agora veja o gráfico da função abaixo:

Máximo & Mínimo Yodacopy

os pontos indicados representam um máximo e um mínimo locais da função num certo intervalo. Observe que nesses pontos as tangentes à curva são retas paralelas ao eixo horizontal e assim seus coeficientes angulares são iguais a zero.

Dessa maneira, conhecendo a derivada, poderemos encontrar os máximos e mínimos por serem os valores de x para os quais a derivada se anula. Não saberemos ainda se o ponto encontrado é de máximo ou mínimo e para isso vamos usar a derivada segunda com o seguinte critério:

$f''(a)>0\to m\acute{a}ximo\\f''(a)<0\to m\acute{i}nimo$