Volume do sólido com coordenada esférica

Utilize coordenadas esféricas para calcular o volume do sólido delimitado pelo cone [latex]Z= \frac{3}{2}\sqrt{x^{2}+y^{2}}[/latex] e pela esfera [latex]x^{2}+y^{2}+z^{2}= 4z[/latex]

Calculemos o volume do sólido delimitado pelo cone \( z = \frac{3}{2} \sqrt{x^2 + y^2} \) e pela esfera \( x^2 + y^2 + z^2 = 4z \). No plano de interseção temos que:

\[\frac{4}{9}z_0^2=4z_0-z_0^2 \Rightarrow z_0= 0 \;\;\text{ou}\;\; z_0=\frac{6}{\sqrt{13}}\]
\[\Rightarrow \sqrt{x^2+y^2}=\frac{4}{\sqrt{13}}\]
\[\therefore \phi_0=\text{arctg}(\frac{2}{3})\]

Transformamos as equações do cone e da esfera para coordenadas esféricas, onde o raio \( r \) depende do ângulo \( \phi \), da figura tiramos \( \rho = 4 \cos(\phi) \). Daí o volume \( V \) é calculado pela expressão abaixo:

\[ V = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\arctan(\frac{2}{3})} \int_{0}^{4\cos(\phi)} \rho^2 \sin(\phi) \, d\rho \, d\phi \, d\theta \]
\[\Rightarrow V=-2\pi\int_{0}^{\arctan(\frac{2}{3})}\frac{4^3}{3}(-\sin(\phi))\cos^3(\phi)d\phi\]

\[\Rightarrow V = -2\pi \cdot \frac{4^3}{3} \cdot \left[ \frac{\cos^4(\phi)}{4} \right]_0^{\arctan\left(\frac{2}{3}\right)}\]

\[\therefore \fbox{$V=\frac{2816\pi}{507}\text{u.v.}$}\]