Volume com coordenada cilíndrica

Calcule o volume do sólido limitado superiormente pelo parabolóide [latex]z = x^{2}+y^{2}[/latex], inferiormente pelo plano z = 0 e lateralmente pelo cilindro [latex]x^{2}+(y-3)^{2}=9[/latex]

Tome a parametrização x=rcosθ e y=rsinθ:

(i) Substituindo na equação do cilindro:

r²cos²θ+(rsinθ-3)²=9 ⇒ r²-6rsinθ=0 ⇒ r=0 ou r=6sinθ, a primeira solução ñ convém.

(ii)Substituindo na do parabolóide:

z = x²+y² = r²

(iii) Uma vez que na circunferência x²+(y-3)² = 9 temos y≥0 ⇒ θ∈ [0,pi]

Logo, o volume pedido é dado pela integral:

\[V=\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{6sin\theta}\int_{0}^{r^2}rdzdrd\theta\]

\[\Rightarrow V=\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{6sin\theta}\frac{r^3}{3}drd\theta\]

\[\Rightarrow V=\int_{0}^{\pi} 324sin^4\theta d\theta =\int_{0}^{\pi} 81(1-cos2\theta)^2 d\theta=\int_{0}^{\pi} 81(1+cos^22\theta-2cos2\theta) d\theta  \]

\[\Rightarrow V = 81(\pi + \pi/2) \]

\[\therefore \fbox{$V=\frac{243\pi}{2} \text{u.v.}$}\]