Prova Indireta

por Bellaeron Seg 20 maio 2024, 15:35

Boa tarde a todos.

Estava estudando métodos de provas e acabei me deparando com um pequeno problema. Vamos lá.

Segundo o que entendi, uma prova indireta (indirect proof) é uma prova por eliminação de outras possibilidades, de forma que busca-se provar que, dada uma proposição [latex]p \rightarrow q[/latex], [latex]\neg q[/latex] é falso e, com isso, mostrar que [latex]\neg q[/latex] contradiz uma proposição [latex]p[/latex] previamente aceita naquele sistema.

Pelo que entendi, o autor ligou isso com o contrapositivo da proposição [latex]p \rightarrow q[/latex], i.e. [latex]\neg q \rightarrow \neg p[/latex], de modo a estipular que se [latex]\neg q[/latex] negar [latex]p[/latex], sendo [latex]\neg q[/latex] falso, então [latex]p \rightarrow q[/latex] é verdadeiro.

Com isso ele também explica que um teorema e seu contrapositivo são logicamente equivalentes (ambos são verdadeiros ou falsos).

A minha dúvida é: eu realmente entendi isso certo? Ele quis dizer que, se [latex]\neg q[/latex] é falso e nega uma proposição [latex]p[/latex] previamente aceita, então o contrapositivo do teorema ficaria com o antecedente [latex]\neg q[/latex] falso e o consequente verdadeiro, de forma que isso prova o teorema [latex]p \rightarrow q[/latex]?

Neste caso, por que exatamente o valor lógico falso desse consequente leva ao valor lógico verdadeiro do teorema?

por **tales amaral** Qua 22 maio 2024, 11:08

Não entendi bem a sua dúvida. Mas [latex] p \implies q \equiv \neg q \implies \neg p [/latex] é verdade. Um jeito de aceitar seria desenhando a tabela verdade.

Outro jeito de aceitar seria se perguntando o que significa [latex] p\implies q [/latex]. Significa "se p ocorre, então q ocorre". A única forma de [latex] p\implies q [/latex] ser falso é p sendo verdadeiro e q sendo falso. Ou seja: se q é falso, devemos ter p falso ([latex] \neg q \implies \neg p [/latex]).

Outra forma:

[latex] p \implies q \equiv \neg p \lor q \equiv \neg p \lor \neg (\neg q) \equiv \neg (\neg q) \lor \neg p \equiv \neg q \implies \neg p [/latex]

Um exemplo clássico da utilidade da contrapositiva é na proposição:

Se x é inteiro com x² divisível por 3, então x é divisível por 3.

Tente demonstrar diretamente e depois tente usar a contrapositiva.

por Bellaeron Qui 23 maio 2024, 17:18

Perfeito, Tales!
Realmente, dada a tabela verdade a única forma do condicional ser falso é se q for falso.
Isso já responde a minha dúvida, certamente.
Muito obrigado, Tales.

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