Combinatória

Severino e Genoveva fazem parte de um grupo de 8 pessoas. Deseja-se formar uma comissão contendo 5 pessoas. Entretanto, como Severino e Genoveva estão brigados e não podem estar juntos em uma mesma comissão. De quantos modos é possível montar essa comissão atendo às condições dadas?

Spoiler:

Se os dois não podem ficar no mesmo grupo, podemos dividir o problema em 3 tipos de situação diferentes: 1 nem Genoveva nem Severino pertencem ao grupo; 2 apenas Genoveva pertence ao grupo; 3 apenas Severino pertence ao grupo.

Vamos pensar inicialmente na situação 1:
São 8 pessoas no total. Se nem Genoveva nem Severino fazer parte do grupo, então restam 6 pessoas para serem organizadas em um grupo de 5 pessoas. A quantidade de maneiras que esse grupo pode ser organizado pode ser calculada por n!/p!(n-p)!. Sendo n a quantidade de pessoas, e p a quantidade de vagas no grupo, ou seja, para esse caso, n=6 e p=5. Fazendo essa conta obtemos 6 maneiras.

Agora a situação 2:
Se Genoveva pertence ao grupo, então Severino não pode fazer parte dele, e assim restam as outras 6 pessoas para serem organizadas no grupo. Como uma vaga já é de Genoveva, então restam 4 vagas para serem organizadas entre 6 pessoas. Usamos novamente n!/p!(n-p)!, com n=6 e p=4, e obtemos 15 possibilidades de organizar o grupo.

Situação 3:
Essa situação é igual à 2, basta pensar que ao invés de Genoveva agora temos Severino. A conta é a mesma, com os mesmos valores, e obtemos também 15 possibilidades de organizar o grupo se Severino faz parte dele.

Assim, a soma de todas as possibilidades é 6+15+15=36.