Combinatoria
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Combinatoria
por John von Neumann jr Qui 26 maio 2016, 21:37
De quantas formas podemos colocar 4 bolas verdes e 4 bolas amarelas em
um tabuleiro 4 × 4 de modo que cada coluna e cada linha possua exatamente uma bola de
cada cor.
um tabuleiro 4 × 4 de modo que cada coluna e cada linha possua exatamente uma bola de
cada cor.
John von Neumann jr- Jedi
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Re: Combinatoria
por Ashitaka Qui 26 maio 2016, 23:30
As bolas verdes podem ser colocadas de 4! modos. Em seguida, as bolas amarelas podem ser colocadas de 3! modos.
R: 4!*3!
R: 4!*3!
Ashitaka- Monitor
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Re: Combinatoria
por Take me down Qui 30 Abr 2020, 11:39
Caros, ressuscitanto o tópico...
Temos 4! para as verdes, ok.
Por que 3! para as amarelas?
Abs
Temos 4! para as verdes, ok.
Por que 3! para as amarelas?
Abs
Take me down- Padawan
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Re: Combinatoria
por Ashitaka Qui 30 Abr 2020, 17:09
Na verdade, eu acredito que essa resposta está errada.
Vamos supor que o tabuleiro tem as linhas A, B, C, D. E as colunas 1, 2, 3, 4.
Ao adicionar as bolas verdes, deverá haver necessariamente uma bola verde em cada uma das linhas A, B, C e D. Não existe outra possibilidade. A diferença entre o posicionamento, então, se deve a como elas são colocadas nas colunas.
A bola que vai na linha A, tem 4 possibilidades de colunas.
A bola que vai na linha B, tem 3 possibilidades de colunas (não pode estar na mesma que a anterior).
etc.
etc.
Logo, 4!, conforme dito.
Eu não estou com tempo de fazer agora, talvez possa tentar mais tarde, mas as bolas amarelas ficam mais complicadas...
Como na linha A já existe uma bola verde, sobram 3 possibilidades de colunas para a bola amarela.
E para a linha B? Bem, depende. Se a bola amarela de A estiver exatamente acima bola verde de B, existem 3 possibilidades para a amarela de B. Mas, se a amarela de A não estiver acima da verde, existem 2 possibilidades.
Então será necessário separar em alguns casos a partir daí e concluir a contagem. Se quiser ir tentando...
Vamos supor que o tabuleiro tem as linhas A, B, C, D. E as colunas 1, 2, 3, 4.
Ao adicionar as bolas verdes, deverá haver necessariamente uma bola verde em cada uma das linhas A, B, C e D. Não existe outra possibilidade. A diferença entre o posicionamento, então, se deve a como elas são colocadas nas colunas.
A bola que vai na linha A, tem 4 possibilidades de colunas.
A bola que vai na linha B, tem 3 possibilidades de colunas (não pode estar na mesma que a anterior).
etc.
etc.
Logo, 4!, conforme dito.
Eu não estou com tempo de fazer agora, talvez possa tentar mais tarde, mas as bolas amarelas ficam mais complicadas...
Como na linha A já existe uma bola verde, sobram 3 possibilidades de colunas para a bola amarela.
E para a linha B? Bem, depende. Se a bola amarela de A estiver exatamente acima bola verde de B, existem 3 possibilidades para a amarela de B. Mas, se a amarela de A não estiver acima da verde, existem 2 possibilidades.
Então será necessário separar em alguns casos a partir daí e concluir a contagem. Se quiser ir tentando...
Ashitaka- Monitor
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Re: Combinatoria
por Elcioschin Sex 01 maio 2020, 18:29
Para a 1ª verde, existem 16 possibilidades. Suponha a 1ª verde na casa a11
Para a 2ª verde estão excluídas as casas a12, a13, a14, a21, a31, a41 e a11
Restam 9 possibilidades: a21, a22, a23, a32, a33, a34, a42, a43, a44
Suponha a 2ª verde em a22
Para a 3ª verde estão excluídas a23, a24, a32, a42 e a22
Restam, portanto 4 possibilidades: a33, a34, a43, a44
Suponha a 3ª verde em a33
Para a 4ª verde resta somente 1 casa: a44
Amarelas
Existem inicialmente 12 casas vazias para a 1ª amarela
Para a 2ª amarela existem 7 casas possíveis
Para a 3ª amarela existem 2 casas possíveis
Para a 4ª amarela existe 1 casa possível
n = (16.9.4.1).(12.7.2.1)
n = 576.168
n = 96 768
Para a 2ª verde estão excluídas as casas a12, a13, a14, a21, a31, a41 e a11
Restam 9 possibilidades: a21, a22, a23, a32, a33, a34, a42, a43, a44
Suponha a 2ª verde em a22
Para a 3ª verde estão excluídas a23, a24, a32, a42 e a22
Restam, portanto 4 possibilidades: a33, a34, a43, a44
Suponha a 3ª verde em a33
Para a 4ª verde resta somente 1 casa: a44
Amarelas
Existem inicialmente 12 casas vazias para a 1ª amarela
Para a 2ª amarela existem 7 casas possíveis
Para a 3ª amarela existem 2 casas possíveis
Para a 4ª amarela existe 1 casa possível
n = (16.9.4.1).(12.7.2.1)
n = 576.168
n = 96 768
Elcioschin- Grande Mestre
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Re: Combinatoria
por Mateus Meireles Sex 01 maio 2020, 19:08
Elcio, tentei também resolver dessa maneira, mas esbarrei em um problema: dependendo do local que colocamos a primeira/segunda bola verde, o número de possibilidades para a próxima bola muda..
Riscando dois tabuleiros em um papel e realizando as distribuições fica mais fácil de enxergar isso.
Também penso que seja necessário dividir 576 por 4!, pois uma mesma escolha de lugares para as bolas verdes foi contada como diferente quando trocamos a ordem de escolha dos lugares. Por exemplo, quando escolhemos a1,1, a2,2, a3,3 e a4,4, nessa ordem, é equivalente ao caso em que escolhemos a1,1, a2,2, a4,4 e a3,3, nessa ordem, mas foram contadas como diferentes. Daí chegamos ao resultado encontrado pelos colegas acima, 576/4! = 24 = 4!.
Acredito que o problema seja realmente braçal e que seja preciso dividir em casos, como o colega Ashitaka mostrou acima.
Abs.
Riscando dois tabuleiros em um papel e realizando as distribuições fica mais fácil de enxergar isso.
Também penso que seja necessário dividir 576 por 4!, pois uma mesma escolha de lugares para as bolas verdes foi contada como diferente quando trocamos a ordem de escolha dos lugares. Por exemplo, quando escolhemos a1,1, a2,2, a3,3 e a4,4, nessa ordem, é equivalente ao caso em que escolhemos a1,1, a2,2, a4,4 e a3,3, nessa ordem, mas foram contadas como diferentes. Daí chegamos ao resultado encontrado pelos colegas acima, 576/4! = 24 = 4!.
Acredito que o problema seja realmente braçal e que seja preciso dividir em casos, como o colega Ashitaka mostrou acima.
Abs.
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Re: Combinatoria
por Take me down Sex 01 maio 2020, 19:22
Há 4! de se dispor as bolas verdes por permutacao simples.
Perceba que se fizermos 16.9.4.1 estaremos contabilizando a possibilidade a44, por exemplo, quatro vezes. Afinal, a44 seria uma suposta opção em 4 decisões. Podemos ver que muitos casos foram contados a mais.
Dispomos uma dupla de bolas (uma verde e uma amarela) em uma linha qualquer. Temos 12 possibilidades para isso: 4!/2!.
Temos então 3 possibilidades para dispor uma verde na coluna em que foi colocada a amarela e 3 para uma amarela na coluna da verde: 12.3.3 então.
Colocadas uma verde e uma amarela nessas colunas, temos somente duas opções finais para dispor as 4 bolas restantes.
Temos, portanto, um total de 12.3.3.2 = 216 possibilidades.
Percebemos que há um 4! dentro de 216. O que era esperado.
Perceba que se fizermos 16.9.4.1 estaremos contabilizando a possibilidade a44, por exemplo, quatro vezes. Afinal, a44 seria uma suposta opção em 4 decisões. Podemos ver que muitos casos foram contados a mais.
Dispomos uma dupla de bolas (uma verde e uma amarela) em uma linha qualquer. Temos 12 possibilidades para isso: 4!/2!.
Temos então 3 possibilidades para dispor uma verde na coluna em que foi colocada a amarela e 3 para uma amarela na coluna da verde: 12.3.3 então.
Colocadas uma verde e uma amarela nessas colunas, temos somente duas opções finais para dispor as 4 bolas restantes.
Temos, portanto, um total de 12.3.3.2 = 216 possibilidades.
Percebemos que há um 4! dentro de 216. O que era esperado.
Take me down- Padawan
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