Coeficientes inteiros ímpares

Me ajudem com essa por favor!?

Prove que se todos os coeficientes da equação do segundo grau ax² + bx + c = 0 são inteiros ímpares, então as raízes da equação não podem ser racionais.

Obrigada!

ax² + bx + c = 0

S = -b/a
P = c/a

Admitindo que a, b e c são ímpares, temos que tanto a soma quanto o produto devem ser ímpares, uma vez que divisão de números racionais ímpares jamais resulta em número par.

Analisemos os três casos possíveis:

1° caso: as duas raízes são ímpares:
A soma é par.
O produto é ímpar.
Absurdo, pois a soma deve ser ímpar.

2° caso: as duas raízes são pares:
A soma é par.
O produto é par.
Absurdo, pois tanto a soma quanto o produto devem ser ímpares.

3° caos: uma raiz par e outra ímpar:
A soma é ímpar.
O produto é par.
Absurdo, pois o produto deve ser ímpar.

Logo, se os três coeficientes são ímpares, as raízes jamais serão racionais. (c.q.d).

Acredito que seja isso, caso esteja errado, por favor, me corrijam.

Obrigada Matheus!

sso pode ser explicado pela soma e pela multiplicação das raízes.

Veja que numa equação do 2º grau, da forma ax² + bx + c = 0, de raízes x' e x", teremos as seguintes fórmulas para a soma e para o produto das raízes:

x' + x" = -b/a
x'*x" = c/a

Observe, que se você tem duas raízes ímpares, o produto continuará ímpar, mas a soma será par (exemplo: x²-4x+3 = 0:
raízes 1 e 3. Produto: 1*3/1 = 3;
soma: -(1+3)/1 = -4/1 = -4;
o coeficiente de x² poderá ser qualquer. No nosso exemplo ele é
1)
Se você tem uma raiz ímpar e outra par, o produto será par, mas a soma será ímpar (exemplo: x²-5x+6 = 0; raízes 3 e 2. Produto: 3*2/1 = 6/1 = 6; soma: -(3+2)/1 = -5/1 = -5. Vale a mesma observação feita acima para o coeficiente de x²).
Se você tem duas raízes pares, tanto o produto como a soma serão pares (exemplo: ax² - 4x + 4 = 0; raízes 2 e 2. Produto: 2*2/1 = 4; soma: -(2+2)/1 = -4. Vale a mesma observação feita acima para o coeficiente de x²).

Acredito que está resolução não esteja totalmente correta. Basta verificar que 3/5=0,6. Portanto, dois números ímpares que não resulta em um número ímpar.

Vamos supor por absurdo que a,b,c são ímpares e que as raízes possam ser racionais, então o ∆ é qdd perfeito:

∆=k²=b²-4ac, com k inteiro.

(i) b² é impar e 4ac é par, então k é ímpar;

(ii) k≡1,3,5,7mod8 ⇒ k²≡1mod8, o mesmo para b²;

(iii) Faça a ← 2a+1 e c ← 2c+1, conclua que 4ac≡4mod8;

(iv) Agora, k²=b²-4ac≡1-4mod8=5mod8, Abs! por (ii) .

Por fim, se a,b e c são ímpares, é impossível que as raízes sejam racionais. Está provado.