Expoentes ímpares

Sejam p, q e r reais não nulos tais que:



Prove que para todo n ímpar tem-se:

fazendo a multiplicação da primeira equação e igualando a 0, temos :

2pqr + p²r + pr² + p²q + pq² + r²q + rq² = 0

utilizando q como incógnita, recaímos numa equação do segundo grau :

q²( p + r ) + q( p + r )² + pr( p + r ) = 0

então, pelas propriedade da soma e da diferença das raízes:

-( p + r ) = q' + q'' e q'q'' = pr logo q' = -p e q''= -r

se utilizarmos o p ou o r como a incógnita chegaríamos a um mesmo resultado:

p'=-q p''=-r e r'=-q r''=-p

então concluímos que os módulos dos valores p,q e r são iguais, mas dois deles tem mesmo sinal, e o outro sinal contrário.

adotamos então q=p r=-p p=p para facilitar o cálculo. substituindo na primeira equação temos :

(p + p - p)(1/p + 1/p - 1/p) = p x 1/p = 1

substituindo na segunda equação:

[ (p)^n + (p)^n + (-p)^n ] [ (1/p)^n + (1/p)^n + (-1/p)^n ] = 1

se n for ímpar :

p^n x (1/p)^n = 1 CORRETO


se n for par:

3(p^n) x 3/(p^n) = 9 INCORRETO


tah aí

Enxergar a expressão como uma equação do 2º grau foi uma ideia muito boa, lucas. Eu havia fatorado:

2pqr + p²r + pr² + p²q + pq² + r²q + rq² = 0 ---> (p+q)(p+r)(q+r) = 0 ---> p = -q ou p = -r ou q = -r

Dê uma passada no meu outro tópico em aberto. Valeu!

fatoração pouparia tempo, nm tinha notado ;/ uhehueehuehue
dei uma olhada no seu outro tópico, não consegui logo de cara, mais tarde volto a tentar... ;D