Números complexos

Hola Ina.

z = (1+i)²/(1-i)

(1+i)² ==> 1² + 2*1*i + i² = 1 + 2i + (-1) = 1 + 2i -1 = 2i

z = 2i/(1-i), podemos multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado de (1-i) que é (1+i).

z = 2i/(1-i)
z = 2i*(1+i)/(1-i)*(1+i)
z = (2i + 2i*i)/(1² - (i)²)
z = (2i + 2*(i*i)/(1 - (-1))
z = (2i + 2*i²/(1 + 1)
z = (2i + 2*(-1)/2
z = (-2 + 2i)/2, colocando o 2 do numerador em evidência, fica:
z = 2*(-1 + i)/2, simplificando o 2 em ambos, fica:
z = - 1 + i

módulo de z:

|z| = P = √[(-1)² + 1²]
|z| = p = √(1 + 1)
|z| = p = √2

Segue que:

senθ = 1/√2 ==> senθ = √2/2
cosθ = -1/√2 ==> cosθ = -√2/2

note: tgθ = senθ/cosθ
tgθ = (√2/2)/(-√2/2)
tgθ = (√2/2) *(2/-√2)
tgθ = - 1, quando que a tangente vale 1? Quando for um ângulo de 45º. Logo:
tgθ = - 45, trazendo para o 1.º quadrante, fica:
tgθ = - 45 = tg(180º - 45º)
tgθ = - 45 = tg 135º. Portanto:

θ = arg(z)
θ = 135º/180º
θ = 3π/4, letyra e.