Polinômio

por trindadde Qua 03 Jun 2015, 16:02

Estou tentando resolver um exercício de polinômios que está me tirando o sono. Vejam:

Os coeficientes A, B, C e D do polinômio P(x) = Ax³ + Bx² + Cx + D devem satisfazer certas relações para que P(x) seja um cubo perfeito. Quais são essas relações?

Já tentei desenvolver um polinômio genérico de grau 3 e não cheguei a lugar algum
Grato a quem puder ajudar.

Gabarito: C = B²/3A; D = B³/27A²

por PedroCunha Qua 03 Jun 2015, 21:17

Olá, trindadde.

Seja "k" a raiz tripla. Pelas relações de Girard:

k+k+k = -B/A .:. 3k = -B/A .:. k = -B/3A

k*k + k*k + k*k = C/A .:. 3k² = C/A .:. 3*(-B/3A)² = C/A .:. B²/3A² = C/A .:. C = B²/3A

k*k*k = -D/A .:. k³ = -D/A .:. (-B/3A)³ = -D/A .:. -B³/27A³ = -D/A .:. D = B³/27A²

Att.,
Pedro