59 polinômio

Seja um polinômio P(x), que dá resto 1 quando dividido por x-1, e dá resto -1 quando dividido por x+1. Qual o resto quando se divide P(x) por (x^2)-1?

A) x-1
B) -1
C) 1
D) -x
E) x

Não sei o gabarito
Adaptado de FGV 2024

Minha resolução deu letra C) 1.
Basicamente se resolve isso usando o algoritmo de Descartes e Teorema do Resto
Como to meio enferrujado em polinômio, não tenho tanta certeza dessa resolução.

O polinômio P(x) dá resto 1 quando dividido por x - 1. Isso significa que P(1) = 1

O polinômio P(x) dá resto -1 quando dividido por x +1. Isso significa que P(-1) = -1

x² -1=(x-1)(x+1)

Dividindo P(x) por x²-1 teremos
P(x)=(x² -1)Q(x)+R(x)
Onde R(x) é o resto da divisão e deve ser um polinômio de grau menor que o divisor, ou seja, grau menor que 2. portanto
R(x)=ax+b

P(x)=(x² -1)Q(x)+ax+b

Quando x=1:
P(1)=a(1)+b=1, logo, a+b=1

Quando x=-1:

P(-1)=a(1)+b=-1, logo, -a+b=-1

Resolvendo o sistema:
1*a+b=1
2*(-a)+b=-1

Somando as duas equações:
(a+b)+(-a+b)=1+(-1)
b=0; a=1

O resto da divisão de P(x) por x²-1 é 
R(x)=ax+b=1x+0=x

Solução adaptada de Petras