57 cone

por Analise Sousa Pereira Seg 14 Out 2024, 19:59

Um cone circular reto é seccionado por um plano α paralelo a sua base. A distância de α ao vértice do cone é o dobro da distância de α à base desse mesmo cone. A razão entre os volumes da parte do cone que inferior ao plano e o da parte que é superior vale

A) 27/19
B) 19/8
C) 27/8
D) 19/27
E) 8/27

Não sei o gabarito
FGV 2024

por matheus_feb Seg 14 Out 2024, 20:26

Analise Sousa Pereira escreveu:Um cone circular reto é seccionado por um plano ???? paralelo a sua base. A distância de ???? ao vértice do cone é o dobro da distância de ???? à base desse mesmo cone. A razão entre os volumes da parte do cone que inferior ao plano e o da parte que é superior vale

A) 27/19
B) 19/8
C) 27/8
D) 19/27
E) 8/27

Não sei o gabarito
FGV 2024

Percebi que você ficou confusa quanto ao desenho. O enunciado resume basicamente isso:

→ O triângulo retângulo menorzinho de cima é semelhante ao ''triângulosão'' retângulo do cone inteiro. Assim, eu consegui facilmente ver que, como a altura do ''triângulosão'' é (2d + d) = 3d e o do triângulo de cima menorzinho é 2d → ou seja, em uma razão igual a 3/2 do grandão, seus raios seguem essa mesma proporção.

Tente resolver a partir daí.

Eu tentei utilizar uma linguagem bem simples e informal para você entender.

por Analise Sousa Pereira Seg 14 Out 2024, 20:47

@matheus_feb 2d é do plano alfa secante até o vértice, teu desenho tá com as alturas invertidas

por matheus_feb Seg 14 Out 2024, 21:00

Analise Sousa Pereira escreveu:@matheus_feb 2d é do plano alfa secante até o vértice, teu desenho tá com as alturas invertidas

Eu fiz do jeito que estava no enunciado. Você o editou, pelo visto. Mas tente resolver com as informações corretas. O raciocínio continua o mesmo.

por matheus_feb Seg 14 Out 2024, 21:28

Analise Sousa Pereira escreveu:@matheus_feb 2d é do plano alfa secante até o vértice, teu desenho tá com as alturas invertidas

Editei.
Uma dica para matar a questão é calcular o volume do cone maior, volume do cone todo e subtrair o volume do cone todo pelo do cone menor, encontrando a área do tronco. Aí basta terminar fazendo a razão entre os volumes do comando.

por **Medeiros** Ter 15 Out 2024, 00:08

outro modo, aproveitando o que o Matheus já comentou e usando semelhança entre volumes.

OBS: no desenho o correto é V₂/V₁

V = V₁ + V₂

\( \frac{V_1}{V}=(\frac{2d}{3d})^3 = \frac{8}{27} \longrightarrow\,\, V_1=\frac{8}{27}V \)

\( V_2 = V-V_1 = (1-\frac{8}{27})V\ \rightarrow\ V_2 = \frac{19}{27}V \)

\( \therefore\,\, \frac{V_2}{V_2}=\frac{19/27}{8/27}\ \rightarrow\ \boxed{\, \frac{V_2}{V_1}=\frac{19}{8}\,} \) -----> alternativa (B)

________________________________________

Note, no cone, o poder da base referente ao volume: mesmo com a metade da altura da ponta, ela tem mais que o dobro do volume desta.

por matheus_feb Ter 15 Out 2024, 08:50

Medeiros escreveu:outro modo, aproveitando o que o Matheus já comentou e usando semelhança entre volumes.

OBS: no desenho o correto é V₂/V₁

V = V₁ + V₂

\( \frac{V_1}{V}=(\frac{2d}{3d})^3 = \frac{8}{27} \longrightarrow\,\, V_1=\frac{8}{27}V \)

\( V_2 = V-V_1 = (1-\frac{8}{27})V\ \rightarrow\ V_2 = \frac{19}{27}V \)

\( \therefore\,\, \frac{V_2}{V_2}=\frac{19/27}{8/27}\ \rightarrow\ \boxed{\, \frac{V_2}{V_1}=\frac{19}{8}\,} \) -----> alternativa (B)

________________________________________

Note, no cone, o poder da base referente ao volume: mesmo com a metade da altura da ponta, ela tem mais que o dobro do volume desta.

Perfeito, esta relação cúbica entre volume e altura é a melhor saída. Sugeri o passo-a-passo do cálculo dos cones, subtrair do outro... para o colega acima já que é mais fácil de enxergar e ele estava com dificuldades mesmo na elaboração do desenho. Mas sua saída é bastante interessante também.

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