64 octógono
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64 octógono
por Analise Sousa Pereira Seg 14 Out 2024, 20:10
Seja o octógono regular convexo ABCDEFGH. P é a interseção de AB e DE, de forma que o ponto B está entre A e P, e o ponto D está entre E e P. Os lados do octógono medem √2m. Qual a medida de BP?
A) 2+√2
B) 2+2√2
C) 4+√2
D) 4+2√2
E) 4+3√2
Não sei o gabarito
Adaptado de FGV 2024
A) 2+√2
B) 2+2√2
C) 4+√2
D) 4+2√2
E) 4+3√2
Não sei o gabarito
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Última edição por Analise Sousa Pereira em Ter 15 Out 2024, 05:20, editado 1 vez(es)
Analise Sousa Pereira- Recebeu o sabre de luz
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Re: 64 octógono
por Elcioschin Seg 14 Out 2024, 22:11
Faça um bom desenho
AÔB = 45º ---> OÂB = O^BA = 67,5º ---> Idem OÊD = O^DE = 67,5
No triângulo isósceles AEP ---> OÂP + OÊP + A^PE = 180º ---> A^PE = 45º
Use lei dos cossenos no triângulo OAB e calcule OA = OB = r
Depois use semelhança de triângulos e complete
AÔB = 45º ---> OÂB = O^BA = 67,5º ---> Idem OÊD = O^DE = 67,5
No triângulo isósceles AEP ---> OÂP + OÊP + A^PE = 180º ---> A^PE = 45º
Use lei dos cossenos no triângulo OAB e calcule OA = OB = r
Depois use semelhança de triângulos e complete
Elcioschin- Grande Mestre
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Re: 64 octógono
por Medeiros Seg 14 Out 2024, 22:59
Esteja o octógono inscrito num quadrado; note que sobram quinas no quadrado. Como o octógono é regular cujo lado mede √2, então essas quinas, que são triângulos retângulos isósceles, têm cateto de medida 1.
Trace BE. O segmento BE mede dois daqueles catetos mais um lado do octógono, i.e., BE = 1 + √2 + 1, logo BE = 2 + √2.
Porém P^BE=90º e PÊB=45º, logo B^PE=45º e o triângulo BPE é retângulo isósceles.
Assim BP = BE = 2 + √2 -----> alternativa (A)
Trace BE. O segmento BE mede dois daqueles catetos mais um lado do octógono, i.e., BE = 1 + √2 + 1, logo BE = 2 + √2.
Porém P^BE=90º e PÊB=45º, logo B^PE=45º e o triângulo BPE é retângulo isósceles.
Assim BP = BE = 2 + √2 -----> alternativa (A)
Medeiros- Grupo
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