Transformada algébrica

por giovannixaviermisselli Seg 14 Out 2024, 10:38

(C.P.II) Obter a transformada da equação 2x^4 +3x^3 +x^2 -2x +8 = 0 para que NÃO possa admitir raízes racionais fracionárias.
Obs: Infelizmente não possuo o gabarito.

por **Giovana Martins** Seg 14 Out 2024, 22:13

Vou deixar apenas uma ideia e amanhã eu concluo o pensamento caso ninguém finalize a questão antes.

Pelo Teorema das Raízes Racionais:

p ∈ {± 1, ± 2, ± 4, ± 8} e q ∈ {1, 2}

Assim, as possíveis raízes são:

r ∈ {± 1/2, ± 1, ± 2, ± 4, ± 8}

Ou seja, para que a equação transformada obedeça o enunciado, precisamos zerar o coeficiente do termo de maior grau, pois se o coeficiente do termo de maior grau for nulo, q não existirá e assim não existirá raiz racional fracionária.

Agora, basta tomar uma equação transformatriz da forma y = x + T, tal que x = y - T.

Substitua x = y - T em P(x) e desenvolva e agrupe os termos grau a grau. Quando você terminar de agrupar o coeficiente de grau 4, zere-o.

Enfim, amanhã eu posto algo. Estou caindo de sono hahaha.

Quem quiser finalizar a questão, fique à vontade.

por **Medeiros** Ter 15 Out 2024, 01:17

Giovana,

se zerar o coeficiente do termo de maior grau, a eq. passa a ser do 3º grau e não mais do 4º grau. Considerando aquele \( \pm 1/2 \) em r, não seria o caso de tornar unitário o coeficiente do 4º grau?

por **Giovana Martins** Ter 15 Out 2024, 07:15

Bom dia, Medeiros.

Então, eu não fiz as contas ainda, mas acho que o senhor está certo.

Eu estava pensando na transformada, mas para dar certo tem que pensar na equação original.

Assim que eu chegar do trabalho tento finalizar a questão.

por **Giovana Martins** Ter 15 Out 2024, 21:51

Giovanni, boa noite.

Vou pedir um pouquinho de paciência. A real é que a ideia que eu dei não foi a lugar algum.

Desenvolvi aqui; estava esperando ver uma coisa no meio das contas eu não vi foi nada.

Vou ter que pensar um pouco mais nessa aqui.

por **Giovana Martins** Qua 16 Out 2024, 22:00

Giovanni, boa noite. Espero que esteja bem.

Apenas para te dar um posicionamento, até aqui, para ser sincera, não consegui desenvolver o problema.

Vou seguir tentando. Se eu conseguir desenvolver algo, posto aqui.

por **Giovana Martins** Sáb 19 Out 2024, 11:16

Acredito que seja o seguinte:

Conjunto sobre o qual estamos trabalhando:

\[ \mathrm{Q_f=\left\{ \frac{p}{q} | p \in \mathbb{Z},q\in \mathbb{Z},q\neq 0\ \wedge\ |p|\neq |q| \right\}}\]

Seja a equação transformatriz y = 1/x, tal que x = 1/y. Assim:

\[\mathrm{P(y)=\frac{2}{y^4}+\frac{3}{y^3}+\frac{1}{y^2}-\frac{2}{y}+8}\]

Assim:

\[\mathrm{8y^4-2y^3+y^2+3y+2=0}\]

Cujas possíveis raízes são y = {± 1, ± 2, ± 1/2, ± 1/4, ± 1/8}.

Assim, x = {± 1, ± 1/2, ± 2, ± 4, ± 8}.

Como x não pode ser racional fracionário, a equação transformada não pode admitir y = ± 2 como possível raiz, pois neste caso ter-se-ia x = ± 1/2.

Deste modo, tem que:

\[\mathrm{8y^4-2y^3+y^2+3y+2=0, com\ y\neq \pm 2}\]

O que garante x = {± 1, ± 2, ± 4, ± 8} como possíveis raízes racionais não fracionárias.

por **tales amaral** Sáb 19 Out 2024, 12:33

Parece que essa questão pede o Critério de Eisenstein, presente no livro Curso de Álgebra do Abramo Hefez ou no Introdução a Algebra do Adilson. Confesso que eu esqueci tudo de Álgebra 1, então vou só dar a referência.