Questão sobre função ( Livro FME volume 1 )

por HEITOR15 Ter 24 Fev 2015, 19:11

Fala galera do forum, trouxe uma questão na qual tenho duas dúvidas, citarei as duas durante o desenvolvimento da questão.Segue abaixo:

Determine ''m'' de modo que a equação (m - 3).x² + 2(m - 2)x + m + 1 = 0 tenha raízes reais tais que x1 < x2 < 1

Modo que o livro indica para solucionar a questão :

$a.f(1) > 0\;\;\;\;\;\ \Delta \geq 0\;\;\;\;\;\;\; \frac{-b}{2a} < 1$

Resolvendo a primeira :

$(m-3).(4m-6) > 0 \;\;\;\;\;\;\;\; 4m^{2} - 18m + 18 > 0 \;\;\;\;\;\; m > 3 \;\;\; ou \; m < \frac {12}{8}$

Resolvendo a segunda :

$\Delta \geq 0 \;\;\;\;\; \Delta = -8m + 28 \geq 0 \;\;\;\;\;\ m\leq \frac {28}{8}$

Resolvendo a terceira :

$\frac {-2m + 4}{2m - 6} < 1 \;\;\;\; -2m + 4 < 2m - 6 \;\;\;\;\;\; m> \frac {10}{4}$

Acabando as etapas, podemos fazer a intersecção e teremos a resposta

do livro :
$m< \frac{3}{2} \;\;\;\;\;\; ou\;\;\ \frac{28}{8} \geq m>3$

minha :
$\frac{28}{8} \geq m>3$

Qual resposta está certa, a minha ou a do livro ?
Por que Delta é maior ou igual a 0, se o enunciado por si só ja diz que existem duas raizes diferentes?

por **Carlos Adir** Ter 24 Fev 2015, 20:22

Questão sobre função ( Livro FME volume 1 ) PbMz35Z

Pra verificar a validade de algumas respostas, tente alguns valores. No caso testei para m=1 e deu certo. E na tua resposta não possui o número 1. Portanto, pode ter alguns valores corretos, mas todos não estão ai. O que faz a tua resposta como errada.

A equação geral da parábola é f(x)=ax²+bx+c
Para ter concavidade para baixo, a<0
Para ter concavidade para cima, a>0

No primeiro caso, que tem concavidade para baixo devemos que:
$a<0; \ \ \ f(1)<0; \ \ \ \Delta \ {\color{Red} >} \ 0; \ \ \ \dfrac{-b}{2a}<1$
Então, resolvendo:
$\begin{cases}m<3 \\ (m-3)+2(m-2)+(m+1)<0 \\ (m-2)^2 \ {\color{Red} >} \ (m-3)(m-2) \\ \dfrac{-(m-2)}{m-3}<1 \Rightarrow \dfrac{2m-5}{m-3}>0 \end{cases}$
$\Rightarrow \begin{cases}m<3 \\ m<\dfrac{3}{2} \\ m \ {\color{Red} <} \ \dfrac{7}{2} \\ m<\dfrac{5}{2} \ \ ou \ \ 3<m \end{cases} \Rightarrow m<\dfrac{3}{2}$
Agora com concavidade para cima:
$a>0; \ \ \ f(1)>0; \ \ \ \Delta \ {\color{Red} >} \ 0; \ \ \ \dfrac{-b}{2a}<1$
Então:
$\begin{cases}m>3 \\ (m-3)+2(m-2)+(m+1)>0 \\ (m-2)^2 \ {\color{Red} >} \ (m-3)(m-2) \\ \dfrac{-(m-2)}{m-3}<1 \Rightarrow \dfrac{2m-5}{m-3}>0 \end{cases}$
$\Rightarrow \begin{cases}m>3 \\ m>\dfrac{3}{2} \\ m \ {\color{Red} <} \ \dfrac{7}{2} \\ m<\dfrac{5}{2} \ \ ou \ \ 3<m \end{cases} \Rightarrow 3<m \ {\color{Red} <}\ \dfrac{7}{2}$

Então, a solução é a união dos dois conjuntos:
$\\ m<\dfrac{3}{2} \\ 3<m \ {\color{Red} <} \ \dfrac{7}{2}$

$S=\left\{m \in \mathbb{R}: \ x<\dfrac{3}{2} \ \ ou \ \ 3<m \ {\color{Red} <} \ \dfrac{7}{2} \right \}$

Ou seja, a do livro está correta.

por HEITOR15 Ter 24 Fev 2015, 20:52

Por que Delta é maior ou igual a zero , se o enunciado diz que tem duas raizes diferentes ?

por **Carlos Adir** Ter 24 Fev 2015, 21:12

Ah sim, então o delta é somente maior que 0.
Com isso muda pouca coisa, a resposta vai para:
$S=\left\{m \in \mathbb{R}: \ x<\dfrac{3}{2} \ \ ou \ \ 3<m<\dfrac{7}{2} \right \}$

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