Produtos Notáveis/ Fatoração

por L.Lawliet Sáb 26 Abr 2014, 20:46

Sendo {a;b;c}∈ ℝ tal que

a³+b³+c³=3abc e a+b+c≠0. Calcule

$\frac{(ab^2{c^3)^2{}}}{a^1^2+{b^1^2+{c^1^2{}}}}$

Eu tentei fazer da seguinte forma:

Da fatoração, como a+b+c≠0, então a²+b²+c²=ab+bc+ac

$a^3+b^3+c^3 -3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)\therefore a^2+b^2+c^2=ab+bc+ac$

Fazendo:

$(a^3+b^3+c^3)^2=(3abc)^2=a^6+b^6+c^6+2(a^3b^3+a^3c^3+b^3c^3)\rightarrow a^6+b^6+c^6=9a^2b^2c^2-2(a^3b^3+a^3c^3+b^3c^3)$

Depois fiz:

$(a^6+b^6+c^6)^2= a^1^2+b^1^2+c^1^2+2[a^6b^6+a^6c^6+b^6c^6]$

$[9a^2b^2c^2-2(a^3b^3+a^3c^3+b^3c^3)]^2=a^1^2+b^1^2+c^1^2+2[a^6b^6+a^6c^6+b^6c^6]$

$81a^4b^4c^4-36(a^2b^2c^2)(a^3b^3+a^3c^3+b^3c^3)+4[a^6b^6+a^6c^6+b^6c^6+2(a^6b^3c^3+a^3b^6c^3+a^3b^3c^6)]= a^1^2+b^1^2+c^1^2+2(a^6b^6+a^6c^6+b^6c^6)$

Isolando a^12+b^12+c^12. Tentei colocar alguns termos em evidencia mas nao saia nada que condizia com a resposta. Apesar de ter quase certeza que nao era necessario fazer essas contas, deve existir uma forma mais facil, alguem tem alguma ideia de como fazer?