Produtos Notáveis/ Fatoração

{a;b;c;x;y;z}∈ℝ e (a+b+c)²=3(ab+bc+ac-x²-y²-z²). Calcule:

[(a^7+b^7+c^7).(x³+y³+z³+9)]/(a^5+b^5+c^5).(a²+b²+c²)

A resposta é 3.

É horrivel ficar escrevendo essas expressoes algebricas, mas se alguem souber como fazer, pelo menos fala o que fazer que eu desenvolvo aqui.

Estou tentando alguma coisa nessa questão, mas tá difícil. Deve ter alguma saída que não estou vendo.

Uma dúvida:

de onde são esses exercícios?

luiz.bfg

Para melhorar a escrita de expressões matemáticas, use o Editor LaTeX do fórum:

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Valeu Elcioschin, vou tentar usar na proxima.

Pedro, essas questões são de um livro peruano.

Ah, imaginei, .

Vamos esperar alguém ajudar a gente. Essa tá complicada.

Ta certo, valeu de qualquer forma!

(a+b+c)² = 3(ab + bc + ac -x²-y²-z²)
a² + b² + c² + 2(ab+bc + ac) = 3(ab + bc + ac - x²-y²-z²)
a²+b²+c²  - (ab+bc + ac) + 3(x²+y²+z²) = 0

desigualdade das médias (M.A ≥ M.G) :
a²+b² ≥ 2ab
b² + c² ≥ 2bc
a²+ c² ≥ 2ac
-----------> (+):
a²+b²+c² ≥ ab + bc + ac

a²+b²+c² é sempre não negativo, e como a²+b²+c² ≥ ab + bc + ac então a²+b²+c²-(ab+bc+ac) também é sempre não negativo. (I)

3(x²+y²+z²) é sempre não negativo (II)

Logo, (I) e (II) implica em:
x²+y²+z² = 0  e a²+b²+c² - (ab + bc + ac) = 0

x²+y²+z² = 0 ∴ x =y=z = 0
a²+b²+c² = ab + bc + ac, a igualdade ocorre quando a=b=c , assim temos:

[(3a^7).9]/[(3a^5)(3a²)] = 3

boa questão!

Caramba. Show, Luck!

Valeu Luck! Finalmente to percebendo a importancia das famosas desiguldades.