sistema linear

por iaguete Sáb 18 Jan 2014, 12:26

x+y=1
(x^4)+(y^4)=7

Eu fiz por polinomio simetrico e achei 2 soluções , porém são 4... eu achei [(1+raiz de 5)/2 ; (1-raiz de 5)/2]
[(1-raiz de 5)/2 ; (1+raiz de 5)/2]

Estou na duvida como achar as outras 2, que é -1+- raiz de 5 sobre 2

por diolinho Sáb 18 Jan 2014, 14:21

Eu resolvi usando o polinômio simétrico, e achei o seguinte:

x+y=1 (i)

Pela lei de recorrência: x⁴ + y⁴ = (x+y)(x³+y³) - xy(x²+y²)=7 (ii)

Usando os polinômios simétricos elementares, temos que σ₁ = x+y e σ₂ = xy

Em (ii) segue que:

σ₁(σ₁³-3σ₁σ₂)-σ₂(1-2σ₂)=7 (iii)

Subst. (i) em (iii)
1(1³-3.1.σ₂)-σ₂(1-2σ₂)=7
2σ₂² - 4σ₂ - 6 = 0 (÷2)
σ₂² - 2σ₂ - 3 = 0
σ₂' = 3 ou σ₂'' = -1

σ₁ = x + y = 1

σ₂ = xy = -1 ou 3

y = 1-x
x(1-x) = -1
x²-x-1=0
x = (1 ± √5)/2 (raízes reais)

x(1-x)=3
x²-x+3=0
x = (1 ± i√11)/2 (raízes complexas)

Assim, temos 4 raízes para x (duas complexas e duas reais)

Então:
x = (1 + √5)/2, y = (1 - √5)/2
x = (1 - √5)/2, y = (1 + √5)/2
x = (1 + i√11)/2, y = (1 - i√11)/2
x = (1 - i√11)/2, y (1 + i√11)/2

por iaguete Sáb 18 Jan 2014, 15:01

diolinho escreveu:Eu resolvi usando o polinômio simétrico, e achei o seguinte:

x+y=1 (i)

Pela lei de recorrência: x⁴ + y⁴ = (x+y)(x³+y³) - xy(x²+y²)=7 (ii)

Usando os polinômios simétricos elementares, temos que σ₁ = x+y e σ₂ = xy

Em (ii) segue que:

σ₁(σ₁³-3σ₁σ₂)-σ₂(1-2σ₂)=7 (iii)

Subst. (i) em (iii)
1(1³-3.1.σ₂)-σ₂(1-2σ₂)=7
2σ₂² - 4σ₂ - 6 = 0 (÷2)
σ₂² - 2σ₂ - 3 = 0
σ₂' = 3 ou σ₂'' = -1

σ₁ = x + y = 1

σ₂ = xy = -1 ou 3

y = 1-x
x(1-x) = -1
x²-x-1=0
x = (1 ± √5)/2 (raízes reais)

x(1-x)=3
x²-x+3=0
x = (1 ± i√11)/2 (raízes complexas)

Assim, temos 4 raízes para x (duas complexas e duas reais)

Então:
x = (1 + √5)/2, y = (1 - √5)/2
x = (1 - √5)/2, y = (1 + √5)/2
x = (1 + i√11)/2, y = (1 - i√11)/2
x = (1 - i√11)/2, y (1 + i√11)/2

exatamente, o mesmo que o meu.