Calcular o volume do prisma

(fgv) A figura a seguir ilustra um prisma reto cuja base é um triângulo equilátero. Esse prisma é vedado e parcialmente preenchido com líquido. 

Quando apoiado em uma mesa horizontal sobre uma de suas faces laterais, o líquido se distribui de modo que a razão entre as alturas 
medidas a partir da superfície do líquido à aresta lateral mais alta e à face de apoio, respectivamente, vale 1,5. A razão entre o volume do prisma e o volume do líquido, já em repouso, em seu interior, nessa ordem, é 
(A)  125/98. 
(B)  125/27. 
(C)  16/9. 
(D) 25/9. 
(E)  25/16. 

gab:E

Sejam L o lado triângulo equilátero, H a altura do triângulo, h, b a altura e base do triângulo vazio e C o comprimento do prisma

H = 2.k + 3.k ---> H = 5.k

H = L.cos30º ---> 5.k = L.√3/2 ---> L = (10.√3/3).k

h = b.cos30º --> 3.k = b.√3/2 ---> b = 2.√3.k

h/b = H/L ---> h/b = 5.k/ (10.√3/3).k --> h/b = √3/2

Volume total prisma: Vp = Sb.C = (L².√3/4).C --> Calcule

Volume do prisma vazio: Vv = S'b.C = (b².√3/4).C ---> Calcule

Complete

@Elcioschinobrigado

outro modo, usando semelhança de triângulos.

O prisma está dividido em dois, um vazio e outro com líquido, sendo que todos têm mesmo comprimento h. Assim, a alteração ocorre apenas na face tiangular.

O triângulo da face vazio (área S') é semelhante ao triângulo da face do prisma (área S), cuja razão de semelhança é \( \frac{3k}{3k+2k} \). O resto das contas está no desenho -- que no momento o ícone para carregamento não está funcionando (depois importo).

Assim, as contas são:

\( \frac{S'}{S} = (\frac{3k}{5k} )²\ \rightarrow\ S'=\frac{9}{25}.S \)

\( S_{\ell}=S-S'\ \rightarrow\ S_{\ell}=(1-\frac{9}{25}).S\ \rightarrow\ S_{\ell}=\frac{16}{25}.S \)

\( \therefore\ \frac{V}{V_{\ell}}=\frac{S.h}{S'.h}\ \rightarrow\ \frac{V}{V_{\ell}}=\frac{S}{\frac{16}{25}.S}\ \rightarrow\ \boxed{\, \frac{V}{V_{\ell}}=\frac{25}{16}\,} \)

Agora consegui inserir a figura.



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