Números Complexos

por nandofab 27/9/2012, 11:45 pm

Determinar z E C (complexos) tal que z²= i

por Cesconetto 28/9/2012, 12:12 am

z = a + bi

z² = i

(a + bi)² = i

a² + 2abi + b²i² = i

a² - b² + 2abi = i

{ a² - b² = 0
{ 2ab = 1

a = 1/2b

(1/2b)² - b² = 0

1/2b = b

1/2 = b²

b = √(1/2)

b = ±√(2)/2

2ab = 1

a = 1/2b

a = 1/[2 . (±√(2)/2]

a = ±1/√2

a = ±√(2)/2

Logo, o complexo procurado é: √(2)/2 +√(2)/2i ou -√(2)/2 - √(2)/2i

Tem gabarito?

por **LPavaNNN** 28/9/2012, 12:18 am

Z =sqrt ( i )

chamando i de Z1 ---> i=z1 |Z1|= 1 Cos a = 0 Sena = 1

a= 90º= Pi/2 ... Passando à forma trigonométrica, temos:

Z1=1 [Cos (Pi/2 + 2kpi) + i . Sen ( Pi/2 +2kpi)

Quando eu tirar a raiz quadrada, todos os números dentro de parenteses serão divididos por dois, e devemos usar valores de K maior ou igual a 0 e inteiro, por ser raiz quadrada, deve-se usar apenas os 2 primeiros valores de k... K= 0 e K=1 .
Explicação do 2kpi, no caso 2 pi, constitui uma volta completa o círculo trigonométrico, logo, adicionar, 2kpi n influencia no resultado, a n ser em caso de radiciação, onde 2kpi n deve faltar.
Resolvendo, temos .
Z=sqrt ( i ) =sqrt (Z1) = 1 [ Cos ( Pi/4 + kpi ) + i . sen ( Pi/4 + kpi) ]

para k=o ----> cos Pi/4 + i. sen Pi /4 =sqrt (2)/2 + i . sqrt (2) /2

Para k=1 ----> Cos ( Pi/4 + 4Pi/4 ) + i . sen ( Pi/4 + 4Pi/4 )

cos (5 pi/4 ) + sen ( 5pi/4 ) = - sqrt(2)/2 - i . sqrt (2)/2

Respostas:sqrt (2)/2 + i . sqrt (2) /2 e - sqrt(2)/2 - i . sqrt (2)/2

Desculpe qualquer complicação, fiz baseado na idéia que vc sabe coisas sobre números Complexos na fforma trigonométrica, módulo, e de valores de seno e cosseno no círculo trigonométrico

por aprentice 29/9/2012, 2:28 pm

Os usuários acima complicaram muito.

z² = cis(pi/2) => cis(o)² = cis(pi/2)
Então:

2o = pi/2 + 2kpi, (k = 0 V k = 1)

k = 0:
2o = pi/2 + 0 => o = pi/4 => z = cis(pi/4)

k = 1:
2o = pi/2 + 2pi => o = 5pi/4 => z = cis(5pi/4)

R: cis(pi/4), cis(5pi/4)

por Rumo a EsPCEx 20/1/2022, 1:45 pm

Cesconetto escreveu:z = a + bi

z² = i

(a + bi)² = i

a² + 2abi + b²i² = i

a² - b² + 2abi = i

{ a² - b² = 0
{ 2ab = 1

a = 1/2b

(1/2b)² - b² = 0

1/2b = b

1/2 = b²

b = √(1/2)

b = ±√(2)/2

2ab = 1

a = 1/2b

a = 1/[2 . (±√(2)/2]

a = ±1/√2

a = ±√(2)/2

Logo, o complexo procurado é: √(2)/2 +√(2)/2i ou -√(2)/2 - √(2)/2i

Tem gabarito?

Por que mudou de raiz de 1/2 para raiz de 2/2 (marquei o local da dívida com uma seta)

por catwopir 20/1/2022, 2:05 pm

Rumo a EsPCEx escreveu:
Cesconetto escreveu:z = a + bi

z² = i

(a + bi)² = i

a² + 2abi + b²i² = i

a² - b² + 2abi = i

{ a² - b² = 0
{ 2ab = 1

a = 1/2b

(1/2b)² - b² = 0

1/2b = b

1/2 = b²

b = √(1/2)

b = ±√(2)/2

2ab = 1

a = 1/2b

a = 1/[2 . (±√(2)/2]

a = ±1/√2

a = ±√(2)/2

Logo, o complexo procurado é: √(2)/2 +√(2)/2i ou -√(2)/2 - √(2)/2i

Tem gabarito?

Por que mudou de raiz de 1/2 para raiz de 2/2 (marquei o local da dívida com uma seta)

ele só racionalizou... separou como √1/√2 e multiplicou por √2 em cima e em baixo-> √2/2

por Rumo a EsPCEx 20/1/2022, 2:07 pm

catwopir escreveu:
Rumo a EsPCEx escreveu:
Cesconetto escreveu:z = a + bi

z² = i

(a + bi)² = i

a² + 2abi + b²i² = i

a² - b² + 2abi = i

{ a² - b² = 0
{ 2ab = 1

a = 1/2b

(1/2b)² - b² = 0

1/2b = b

1/2 = b²

b = √(1/2)

b = ±√(2)/2

2ab = 1

a = 1/2b

a = 1/[2 . (±√(2)/2]

a = ±1/√2

a = ±√(2)/2

Logo, o complexo procurado é: √(2)/2 +√(2)/2i ou -√(2)/2 - √(2)/2i

Tem gabarito?

Por que mudou de raiz de 1/2 para raiz de 2/2 (marquei o local da dívida com uma seta)

ele só racionalizou... separou como √1/√2 e multiplicou por √2 em cima e em baixo-> √2/2

Nossa... que vacilo meu! Obrigado.