(EUREKA N° 43) Integral Trigonométrica

por **Giovana Martins** Dom 13 Out 2024, 20:27

Boa noite, pessoal. Espero que estejam bem.

Já tem alguns dias que tento mexer nesta aqui, mas não sai de jeito nenhum. Trata-se de uma questão da revista Eureka, que é um material postado de tempos em tempos no site da OBM - Olimpíada Brasileira de Matemática.

Mostre que

\[ \mathrm{\int_{0}^{\pi } \frac{1}{1+2023^{cos(x)}} dx=\frac{\pi}{2}}\]

Fonte: Revista Eureka n° 43 - Página 114 do PDF (clique aqui).

Edição: 13/10/2024 - Horário: 20:47.

O colega Felipe Martin do fórum Tutor Brasil me ensinou como se faz esta. Vou deixar a solução dele:

\[\mathrm{u=\pi -x\ \therefore\ \mathrm{\int\limits_{0}^{\pi}\frac{1}{1+2023^{cos(x)}} dx} =\mathrm{\int\limits_{0}^{\pi}\frac{1}{1+2023^{-cos(u)}}du=I}}\]

\[\mathrm{I+I = 2I = \mathrm{\int\limits_{0}^{\pi}\frac{1+2023^{cos(x)}}{1+2023^{cos(x)}}dx} = \pi \implies I = \frac{\pi}2}\]

Ver resolução na íntegra: clique aqui.

(EUREKA N° 43) Integral Trigonométrica

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