Equação Modular - Tópicos de Álgebra Elementar

Giovana Martins escreveu:

Questões deste estilo são sempre muito chatas de serem resolvidas (ou então eu que não sei resolver de forma mais sagaz). Enfim, não sei resolver de forma mais rápida.

Vamos ver o que acontece se a = 0.

|x - 8| + |x| = 4

|x - 8| = x + 8, se x ≥ 8 ou |x - 8| = 8 - x, se x < 8

|x| = x, se x ≥ 0 ou |x| = - x, se x < 0

Assim, temos 3 casos a analisar, quais sejam: x < 0, 0 ≤ x < 8 e x ≥ 8.

Para x < 0: 8 - x - x = 4 → x = 2. Entretanto, se x = 2:

|x - 8| + |x| = 4 → 6 + 2 = 4 (falso)

Para 0 ≤ x < 8: 8 - x + x = 4 (falso).

Para x ≥ 8: x - 8 + x = 4 → x = 6. Entrentanto, se x = 6:

|x - 8| + |x| = 4 → 2 + 6 = 4 (falso)

Ou seja, para a = 0 a igualdade não tem solução.

Agora, vamos ver o que acontece se a < 0.

|x + 3a - 8| + |x - a| = 4

|x + 3a - 8| = x + 3a - 8, se x ≥ 8 - 3a ou |x + 3a - 8| = 8 - 3a - x, se x < 8 - 3a

|x - a| = x - a, se x ≥ a ou |x - a| = a - x, se x < a

Se a < 8 - 3a, isto é, a < 2, analisamos os seguintes casos: x < a, a ≤ x < 8 - 3a e x ≥ 8 - 3a.

Para x < a:

8 - 3a - x + a - x = 4 → x = 2 - a

Para a ≤ x < 8 - 3a:

8 - 3a - x + x - a = 4 → a = 1

Para x ≥ 8 - 3a:

x + 3a - 8 + x - a = 4 → x = 6 - 2a

Agora, vamos ver o que acontece se a > 0.


|x + 3a - 8| + |x - a| = 4

|x + 3a - 8| = x + 3a - 8, se x ≥ 8 - 3a ou |x + 3a - 8| = 8 - 3a - x, se x < 8 - 3a

|x - a| = x - a, se x ≥ a ou |x - a| = a - x, se x < a

Se a > 8 - 3a, isto é, a > 2, analisamos os seguintes casos: x < 8 - 3a, 8 - 3a ≤ x < a e x ≥ a.

Para x < 8 - 3a:

8 - 3a - x + a - x = 4 → x = 2 - a

Para 8 - 3a ≤ x < a:

x + 3a - 8 + a - x = 4 → a = 3

Para x ≥ a:

x + 3a - 8 + x - a = 4 → x = 6 - 2a

Assim, possui infinitas soluções para a = (1,3), tal que 1 + 3 = 4.