polinômios

(UFOP 2003) Seja P(x) um polinômio tal que P(2) = -1. Suponhamos que o quociente Q(x) da divisão de P(x) por x -2 seja tal que Q(x) =3. Determine o resto R(x) da divisão de P(x) por (x - 2) (x -3)

Gab: 13x -7

O resto do polinomio p(x) por (x-2)(x-3) tem no máximo grau igual a 1, ou seja, o grau de R(x) vai ser menor ou igual a 1 pelo falo de o resto ter grau menor que o polinomio dividendo.

Com isso, vamos supor que R(x) seja igual a a.x+b onde a e b são números reais.

P(x) = (x-2)(x-3)Q(x) + R(x)
P(2) = (2-2)(x-3)Q(x) + R(2)
-1 = 0+R(2) —-> R(2) = -1

Como R(x) = ax+b —-> R(2) = -1 = 2a+b
Temos então a primeira equaçao 2a+b=-1 equaçao 1

Pelo teorema do resto que nada mais é do que o seguinte equacionamento:

P(x) = (x-2).Q(x) + R’(x), onde R’(x) é o resto da divisão do polinomio por x-2

X = 2
P(2) = R’(x) —-> R’(x) = -1

Logo, P(x) = (x-2).3 + (-1)
P(x) = 3x-6-1 ——> P(x) = 3x-7

Utilizando novamente a equaçao e colocando x = 3

P(x) = (x-2)(x-3)Q(x) + R(x)
P(3) = (3-2)(3-3)Q(3) + R(3)
3.3-7 = R(3)
R(3) = 2

3a+b = 2 equaçao 2
2a+b = -1 equaçao 1

Resolvendo o sistema, temos:
a = 3
b = -7

Confere ai o enunciado por gentileza

Só um adendo, (x-2).Q(x), sendo Q(x) = 3, torna essa multiplicaçao um polinomio de grau 1

Dessa forma, não se consegue dividir um polinomio de grau 1 pelo grau 2, pelo menos não lembro