Polinômios

Sabendo que um polinômio p(x) tem 6 raízes reais distintas, sendo 5 simples e 1 dupla, sobre o grau n do polinômio q(x) = x⁶ + x³. p(x) – 1, é correto concluir que o conjunto de possíveis valores de n é

A) {8}
B) {9}
C) {10}
D) {n ∈ N; n ≥ 9}
E) {n ∈ N; n ≥ 10}

Como fiz:

- Se há 5 raízes simples e 1 dupla, o maior grau de p(x) é 7. Porém, fiquei com dúvida quanto ao símbolo "≥" empregado na alternativa E. Existe a possibilidade de haver valores maiores para "n"? Por que a alternativa C está incorreta?

Tem um probleminha no enunciado: ele não fala em que conjunto x está. Ou seja, se x pertencer somente aos reais, então a alternativa correta seria C. Porém se x pertencer aos complexos, que creio que seja o caso dessa questão, então será letra E. O enunciado apenas falou das raízes REAIS, mas nada sobre as imaginárias. Penso que seja isso!

Não consigo entender qual a relação de grau do polinômio com raízes complexas.

Por exemplo, imagine que P(x) tem também como raiz o complexo x = 1 + i. Se isso for verdade, o grau de q(x) será maior que 10.

O grau de um polinômio não está diretamente ligado a quantidade de raízes independentemente de elas serem reais ou imaginárias não?

Uhum! Sim! Editei a primeira resposta pois digitei a variável errada.

Se um polinômio com coeficientes reais possuir uma raiz complexa, o conjugado dessa raiz também será raiz do polinômio, por exemplo, um polinômio com coeficientes reais e apenas duas raiz complexas distintas e uma raiz real possuirá grau 5, pois as raízes complexas formam "pares" com suas conjugadas.
Creio que a resposta seja a letra E (posso estar errado em meu pensamento, não sou muito bom em interpretação, mas ele é assim), o exercício diz "Sabendo que um polinômio p(x) tem 6 raízes reais distintas...", perceba que ele diz que o polinômio possui essas raízes mas não está escrito que são APENAS essas raízes, podendo haver outras, como as raízes complexas, pois o exercício não disse nada a respeito disso, portanto o polinômio pode ou não ter raízes complexas, com isso, ele pode possuir apenas essas raízes ou também pode possuir mais que isso, por isso do n ≥ 10.

Ou seja, na dúvida erra pra mais. kkkk

Cabe salientar que o elaborador colocou "possíveis valores de n" ao invés de "possível valor", o que, em tese, já descartaria as alternativas A, B e C. Provavelmente, deve ser pela falta de uma palavra denotativa de limitação como você disse acima. Obrigado, senhores!