Apostila FB equação exponencia aprofundamento

Resolva 

[latex]2\cdot \sqrt{x}\cdot 4^x+5\cdot 2^{x+1}+2\sqrt{x}=2^{2x+2}+5\cdot \sqrt{x}\cdot 2^x+4,~~x\geq 0[/latex]

Não estou conseguindo desenvolver

Note que que o domínio é x≥0. Daí, se segue:

\[2\sqrt{x}\cdot 4^x+5\cdot 2^{x+1}+2\sqrt{x}=2^{2x+2}+5\sqrt{x}\cdot2^x+4\]
\[\Rightarrow 2\sqrt{x}\cdot 2^{2x}+5\cdot 2\cdot2^{x+1}+2\sqrt{x}=2^{2x+2}+5\sqrt{x}\cdot2^x+4\]

Para melhorar a visualização da fatoração, tome \(u=2^x\) e \(v=\sqrt{x}\), daí ficamos:

\[2vu^2+10u+2v=4u^2+5vu+4\]
\[\Rightarrow (2vu^2-4u^2)+(10u-5vu)+(2v-4)=0\]
\[\Rightarrow u^2(2v-4)-\frac{5u}{2}(2v-4)+(2v-4)=0\]
\[\Rightarrow (2v-4)\cdot (u^2-\frac{5u}{2}+1)=0\]

(i) \(2v-4 = 0 \Rightarrow v=\sqrt{x}=2 \therefore \fbox{$x=4$} \)

(ii)\(u^2-\frac{5u}{2}+1 \Rightarrow u=2 \;\text{ou}\; u=\frac{1}{2}\)
 
Se \(u=2^x=2 \therefore \fbox{$x=1$}\). 

Porém, se \(u=2^x=2^{-1}  \therefore x=-1\), o que não convém, pois não faz parte do domínio. 

Logo, o conjunto solução é S={1;4}.

Muito belo, obg mestre entendi perfeitamente.