Apostila FB equação exponencia aprofundamento

por SallesB Sáb 25 maio 2024, 17:09

Seja [latex]a\neq 0[/latex] um real dado. Indique a soma dos quadrados das raízes da equação:

[latex](\sqrt{a+\sqrt{a^2+1}})^x + (\sqrt{-a+\sqrt{a^2+1}})^x= 2\sqrt{a^2+1}[/latex]

por **Giovana Martins** Sáb 25 maio 2024, 18:01

\[\mathrm{Seja\ b =\sqrt{a^2+1}\ \therefore\ \left ( \sqrt{a+b} \right )^x+\left ( \sqrt{b-a} \right )^x=2b}\]

\[\mathrm{b-a=\frac{\left ( b-a \right )\left ( b+a \right )}{a+b}=\frac{b^2-a^2}{a+b}=\frac{a^2+1-a^2}{a+b}=\frac{1}{a+b}}\]

\[\mathrm{\left ( \sqrt{a+b} \right )^x+\left ( \frac{1}{\sqrt{a+b}} \right )^x=2b\ \therefore\ t+\frac{1}{t}=2b,\ sendo\ t=\left ( \sqrt{a+b} \right )^x\ \therefore\ t=b\pm \sqrt{b^2-1}}\]

\[\mathrm{Deste\ modo: t=\sqrt{a^2+1}\pm \sqrt{a^2}=\left ( \sqrt{a+\sqrt{a^2+1}} \right )^x}\]

\[\mathrm{\sqrt{a^2+1}+a=\left ( a+\sqrt{a^2+1} \right )^{x/2}\ \therefore\ x_1=2}\]

\[\mathrm{\sqrt{a^2+1}-a=\frac{1}{\sqrt{a^2+1}+a}=\left ( \sqrt{a^2+1}+a \right )^{-1}=\left ( a+\sqrt{a^2+1} \right )^{x/2}\ \therefore\ x_2=-2}\]

\[\mathrm{\therefore\ x_1^2+x_2^2=8}\]