Apostila FB equação exponencia Aprofundamento

por SallesB Sáb 25 maio 2024, 17:51

Se X e Y são números inteiros, quantas soluções possui a equação (x- Cool

(x-10)=2^y

a)0

b)1

c)2

d)3

e)mais que 3

por **Giovana Martins** Sáb 25 maio 2024, 18:58

Se o produto dos fatores "x - 8" e "x - 10" é da forma 2^y, vamos supor que "x - 8" e "x - 10" são, respectivamente, da forma 2^a e 2^b, pois 2^a2^b = 2^{a + b}= 2^y, o que acarreta y = a + b.

\[\mathrm{Sendo\ x-8=2^a\ e\ x-10=2^b\ \therefore\ 2^a+8=2^b+10\to 2^a-2^b=2\to 2^b\left ( 2^{a-b}-1 \right )=2\cdot 1\ (i)}\]

\[\mathrm{Note\ que\ se\ x\in \mathbb{Z}\ \therefore\ \left \{ x-8\ \wedge\ x-10 \right \}\in \mathbb{Z}\ \therefore\ \left \{ 2^a\ \wedge\ 2^b \right \}\in \mathbb{Z}}\]

\[\mathrm{\therefore\ De\ (i):\left \{ 2^b=2\ (ii)\ e\ 2^{a-b}-1=1\ (iii) \right \}\ ou\ \left \{ 2^b=1\ (iv)\ e\ 2^{a-b}-1=2\ (v) \right \}}\]

\[\mathrm{\therefore\ De\ (ii)\ e\ (iii): b=1\ \therefore\ a=2\ \therefore\ x=\left \{ 12 \right \}}\]

\[\mathrm{\therefore\ De\ (iv)\ e\ (v):b=0\ \therefore\ a=\frac{log(3)}{log(2)}, o\ que\ n\tilde{a}o\ conv\acute{e}m,pois \left \{ y=a+b \right \}\in \mathbb{Z}}\]

\[\mathrm{Sendo\ 2^{a+b}=2^y\ \therefore\ y=a+b=3\ \therefore\ (x- Cool

(x-10)=2^3\ \therefore\ x=6\ \vee\ x=12}\]

As soluções do problema são, portanto, (x,y) = (6,3) ou (x,y) = (12,3).

Se eu entendi direito as alternativas do problema, temos 2 possíveis valores para x e um possível valor para y, o que totaliza 3 soluções.

A meu ver o mais correto seria dizer que há dois pares de solução, quais sejam: (x,y) = (6,3) ou (x,y) = (12,3).

Acredito que seja isto.

por SallesB Sáb 25 maio 2024, 19:20

Gabarito é 2 eu que copiei errado. vou ajeitar

por **Giovana Martins** Sáb 25 maio 2024, 19:22

SallesB escreveu:
Gabarito é 2 eu que copiei errado. vou ajeitar

Excelente. Neste caso faz mais sentido a resposta ser 2 mesmo.

A propósito, só por desencargo de consciência, se você colocar a equação do enunciado no Wolfram ele irá retornar como soluções (x,y) = (6,3) ou (x,y) = (12,3).